Transformation 3D

Rotation

La rotation 3D est différente de la rotation 2D. En rotation 3D, nous devons spécifier l'angle de rotation avec l'axe de rotation. Nous pouvons effectuer une rotation 3D autour des axes X, Y et Z. Ils sont représentés sous forme de matrice comme ci-dessous -

$$ R_ {x} (\ theta) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos \ theta & −sin \ theta & 0 \\ 0 & sin \ theta & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ \ \ end {bmatrix} R_ {y} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & 0 & sin \ theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −sin \ theta & 0 & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} R_ {z} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & −sin \ theta & 0 & 0 \\ sin \ theta & cos \ theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

La figure suivante explique la rotation autour de différents axes -

Mise à l'échelle

Vous pouvez modifier la taille d'un objet à l'aide de la transformation de mise à l'échelle. Dans le processus de mise à l'échelle, vous développez ou compressez les dimensions de l'objet. La mise à l'échelle peut être obtenue en multipliant les coordonnées d'origine de l'objet par le facteur de mise à l'échelle pour obtenir le résultat souhaité. La figure suivante montre l'effet de la mise à l'échelle 3D -

Dans l'opération de mise à l'échelle 3D, trois coordonnées sont utilisées. Supposons que les coordonnées d'origine sont (X, Y, Z), les facteurs d'échelle sont respectivement $ (S_ {X,} S_ {Y,} S_ {z}) $ et les coordonnées produites sont (X ', Y' , Z '). Cela peut être représenté mathématiquement comme indiqué ci-dessous -

$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $

P '= P ∙ S

$ [{X} '\: \: \: {Y}' \: \: \: {Z} '\: \: \: 1] = [X \: \: \: Y \: \: \: Z \: \: \: 1] \: \: \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $

$ = [X.S_ {x} \: \: \: Y.S_ {y} \: \: \: Z.S_ {z} \: \: \: 1] $

Tondre

Une transformation qui incline la forme d'un objet est appelée shear transformation. Comme dans le cisaillement 2D, nous pouvons cisailler un objet le long de l'axe X, Y ou Z en 3D.

Comme le montre la figure ci-dessus, il y a une coordonnée P. Vous pouvez la cisailler pour obtenir une nouvelle coordonnée P ', qui peut être représentée sous forme de matrice 3D comme ci-dessous -

$ Sh = \ begin {bmatrix} 1 & sh_ {x} ^ {y} & sh_ {x} ^ {z} & 0 \\ sh_ {y} ^ {x} & 1 & sh_ {y} ^ {z} & 0 \\ sh_ {z} ^ {x} & sh_ {z} ^ {y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $

P '= P ∙ Sh

$ X '= X + Sh_ {x} ^ {y} Y + Sh_ {x} ^ {z} Z $

$ Y '= Sh_ {y} ^ {x} X + Y + sh_ {y} ^ {z} Z $

$ Z '= Sh_ {z} ^ {x} X + Sh_ {z} ^ {y} Y + Z $

Matrices de transformation

La matrice de transformation est un outil de base pour la transformation. Une matrice de dimensions nxm est multipliée par la coordonnée des objets. Habituellement, des matrices 3 x 3 ou 4 x 4 sont utilisées pour la transformation. Par exemple, considérez la matrice suivante pour diverses opérations.

$ T = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ t_ {x} & t_ {y} & t_ {z} & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ S = \ begin {bmatrix} S_ {x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_ {y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_ {z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $	$ Sh = \ begin {bmatrix} 1 & sh_ {x} ^ {y} & sh_ {x} ^ {z} & 0 \\ sh_ {y} ^ {x} & 1 & sh_ {y} ^ {z} & 0 \\ sh_ {z} ^ {x} & sh_ {z} ^ {y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
Translation Matrix	Scaling Matrix	Shear Matrix
$ R_ {x} (\ theta) = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos \ theta & -sin \ theta & 0 \\ 0 & sin \ theta & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ R_ {y} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & 0 & sin \ theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -sin \ theta & 0 & cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix} $	$ R_ {z} (\ theta) = \ begin {bmatrix} cos \ theta & -sin \ theta & 0 & 0 \\ sin \ theta & cos \ theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $
Rotation Matrix