Communication numérique - Échantillonnage

Sampling est défini comme: «Le processus de mesure des valeurs instantanées d'un signal en temps continu sous une forme discrète.»

Sample est une donnée extraite de l'ensemble des données qui est continue dans le domaine temporel.

Lorsqu'une source génère un signal analogique et si celui-ci doit être numérisé, avoir 1s et 0sc'est-à-dire, haut ou bas, le signal doit être discrétisé dans le temps. Cette discrétisation du signal analogique est appelée échantillonnage.

La figure suivante indique un signal continu x (t) et un signal échantillonné xs (t). Quandx (t) est multiplié par un train d'impulsions périodique, le signal échantillonné xs (t) Est obtenu.

Taux d'échantillonnage

Pour discrétiser les signaux, l'écart entre les échantillons doit être corrigé. Cet écart peut être qualifié desampling period Ts.

$$ Échantillonnage \: Frequency = \ frac {1} {T_ {s}} = f_s $$

Où,

  • $ T_ {s} $ est le temps d'échantillonnage

  • $ f_ {s} $ est la fréquence d'échantillonnage ou le taux d'échantillonnage

Sampling frequencyest l'inverse de la période d'échantillonnage. Cette fréquence d'échantillonnage peut être simplement appeléeSampling rate. La fréquence d'échantillonnage indique le nombre d'échantillons prélevés par seconde, ou pour un ensemble fini de valeurs.

Pour qu'un signal analogique soit reconstruit à partir du signal numérisé, la fréquence d'échantillonnage doit être fortement prise en compte. Le taux d'échantillonnage doit être tel que les données du signal de message ne doivent pas être perdues ni se chevaucher. Par conséquent, un taux a été fixé pour cela, appelé taux de Nyquist.

Taux Nyquist

Supposons qu'un signal soit limité en bande sans composantes de fréquence supérieures à WHertz. Cela signifie,West la fréquence la plus élevée. Pour un tel signal, pour une reproduction efficace du signal original, la fréquence d'échantillonnage doit être deux fois la fréquence la plus élevée.

Ce qui signifie,

$$ f_ {S} = 2W $$

Où,

  • $ f_ {S} $ est le taux d'échantillonnage

  • W est la fréquence la plus élevée

Ce taux d'échantillonnage est appelé Nyquist rate.

Un théorème appelé, Théorème d'échantillonnage, a été énoncé sur la théorie de ce taux de Nyquist.

Théorème d'échantillonnage

Le théorème d'échantillonnage, également appelé Nyquist theorem, fournit la théorie d'une fréquence d'échantillonnage suffisante en termes de bande passante pour la classe de fonctions à bande limitée.

Le théorème d'échantillonnage stipule qu '«un signal peut être reproduit exactement s'il est échantillonné à la fréquence fs qui est supérieure à deux fois la fréquence maximale W. »

Pour comprendre ce théorème d'échantillonnage, considérons un signal à bande limitée, c'est-à-dire un signal dont la valeur est non-zero entre certains –W et W Hertz.

Un tel signal est représenté par $x(f) = 0 for |f\lvert > W$

Pour le signal à temps continu x (t), le signal à bande limitée dans le domaine fréquentiel, peut être représenté comme illustré dans la figure suivante.

Nous avons besoin d'une fréquence d'échantillonnage, une fréquence à laquelle il ne devrait y avoir aucune perte d'information, même après échantillonnage. Pour cela, nous avons le taux de Nyquist selon lequel la fréquence d'échantillonnage doit être deux fois la fréquence maximale. C'est le taux critique d'échantillonnage.

Si le signal x(t) est échantillonné au-dessus du taux de Nyquist, le signal d'origine peut être récupéré, et s'il est échantillonné au-dessous du taux de Nyquist, le signal ne peut pas être récupéré.

La figure suivante explique un signal, s'il est échantillonné à une fréquence supérieure à 2w dans le domaine fréquentiel.

La figure ci-dessus montre la transformée de Fourier d'un signal $x_{s}(t)$. Ici, les informations sont reproduites sans aucune perte. Il n'y a pas de mélange et donc la récupération est possible.

La transformée de Fourier du signal $x_{s}(t)$ est

$$ X_ {s} (w) = \ frac {1} {T_ {s}} \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty X (w-nw_0) $$

Où $ T_ {s} $ = Sampling Period et $ w_ {0} = \ frac {2 \ pi} {T_s} $

Voyons ce qui se passe si le taux d'échantillonnage est égal à deux fois la fréquence la plus élevée (2W)

Cela signifie,

$$ f_ {s} = 2W $$

Où,

  • $ f_ {s} $ est la fréquence d'échantillonnage

  • W est la fréquence la plus élevée

Le résultat sera comme indiqué dans la figure ci-dessus. Les informations sont remplacées sans aucune perte. C'est donc aussi un bon taux d'échantillonnage.

Maintenant, regardons la condition,

$$ f_ {s} <2W $$

Le motif résultant ressemblera à la figure suivante.

Nous pouvons observer à partir du schéma ci-dessus que le chevauchement d'informations est effectué, ce qui conduit à un mélange et à une perte d'informations. Ce phénomène indésirable de chevauchement est appelé aliasing.

Aliasing

Le crénelage peut être appelé «le phénomène d'une composante haute fréquence dans le spectre d'un signal, prenant l'identité d'une composante basse fréquence dans le spectre de sa version échantillonnée».

Les mesures correctives prises pour réduire l'effet de l'aliasing sont:

  • Dans la section émetteur du PCM, un low pass anti-aliasing filter est utilisé, avant l'échantillonneur, pour éliminer les composantes haute fréquence, qui sont indésirables.

  • Le signal qui est échantillonné après filtrage, est échantillonné à un taux légèrement supérieur au taux de Nyquist.

Ce choix d'avoir le taux d'échantillonnage plus élevé que le taux de Nyquist, contribue également à la conception plus facile du reconstruction filter au récepteur.

Portée de la transformée de Fourier

On observe généralement que, nous cherchons l'aide des séries de Fourier et des transformées de Fourier dans l'analyse des signaux et aussi dans la démonstration des théorèmes. C'est parce que -

  • La transformée de Fourier est l'extension de la série de Fourier pour les signaux non périodiques.

  • La transformée de Fourier est un outil mathématique puissant qui aide à visualiser les signaux dans différents domaines et aide à analyser les signaux facilement.

  • Tout signal peut être décomposé en termes de somme des sinus et cosinus en utilisant cette transformée de Fourier.

Dans le chapitre suivant, discutons du concept de quantification.