Mathématiques discrètes - Fonctions
UNE Functionaffecte à chaque élément d'un ensemble, exactement un élément d'un ensemble lié. Les fonctions trouvent leur application dans divers domaines comme la représentation de la complexité de calcul des algorithmes, le comptage d'objets, l'étude de séquences et de chaînes, pour n'en nommer que quelques-uns. Le troisième et dernier chapitre de cette partie met en évidence les aspects importants des fonctions.
Fonction - Définition
Une fonction ou un mappage (défini comme $ f: X \ rightarrow Y $) est une relation entre les éléments d'un ensemble X et les éléments d'un autre ensemble Y (X et Y sont des ensembles non vides). X est appelé Domaine et Y est appelé Codomaine de la fonction «f».
La fonction 'f' est une relation sur X et Y telle que pour chaque $ x \ dans X $, il existe un unique $ y \ dans Y $ tel que $ (x, y) \ dans R $. «x» est appelé pré-image et «y» est appelé image de la fonction f.
Une fonction peut être un à un ou plusieurs à un mais pas un à plusieurs.
Fonction injective / one-to-one
Une fonction $ f: A \ rightarrow B $ est une fonction injective ou one-to-one si pour tout $ b \ dans B $, il existe au plus un $ a \ dans A $ tel que $ f (s) = t $ .
Cela signifie une fonction f est injectif si $ a_1 \ ne a_2 $ implique $ f (a1) \ ne f (a2) $.
Exemple
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ est injectif.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ est injectif.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ n'est pas injectif comme $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $
Fonction Surjective / Onto
Une fonction $ f: A \ rightarrow B $ est surjective (sur) si l'image de f est égale à sa portée. De manière équivalente, pour chaque $ b \ dans B $, il existe un $ a \ dans A $ tel que $ f (a) = b $. Cela signifie que pour tout y dans B, il existe un x dans A tel que $ y = f (x) $.
Exemple
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ est surjectif.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ n'est pas surjectif car on ne peut pas trouver un nombre réel dont le carré est négatif.
Correspondant bijectif / un-à-un
Une fonction $ f: A \ rightarrow B $ est un correspondant bijectif ou un-à-un si et seulement si f est à la fois injective et surjective.
Problème
Montrer qu'une fonction $ f: R \ rightarrow R $ définie par $ f (x) = 2x - 3 $ est une fonction bijective.
Explanation - Nous devons prouver que cette fonction est à la fois injective et surjective.
Si $ f (x_1) = f (x_2) $, alors $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ et cela implique que $ x_1 = x_2 $.
Par conséquent, f est injective.
Ici, 2x $ - 3 = y $
Donc, $ x = (y + 5) / 3 $ qui appartient à R et $ f (x) = y $.
Par conséquent, f est surjective.
Depuis f est à la fois surjective et injective, nous pouvons dire f est bijective.
Inverse d'une fonction
le inverse d'une fonction correspondante un-à-un $ f: A \ rightarrow B $, est la fonction $ g: B \ rightarrow A $, contenant la propriété suivante -
$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $
La fonction f est appelée invertible, si sa fonction inverse g existe.
Exemple
Une fonction $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, est inversible puisqu'elle a la fonction inverse $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
Une fonction $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ n'est pas inversible car ce n'est pas un-à-un comme $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.
Composition des fonctions
Deux fonctions $ f: A \ rightarrow B $ et $ g: B \ rightarrow C $ peuvent être composées pour donner une composition $ gof $. C'est une fonction de A à C définie par $ (gof) (x) = g (f (x)) $
Exemple
Soit $ f (x) = x + 2 $ et $ g (x) = 2x + 1 $, trouver $ (fog) (x) $ et $ (gof) (x) $.
Solution
$ (brouillard) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $
$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $
Par conséquent, $ (fog) (x) \ neq (gof) (x) $
Quelques faits sur la composition
Si f et g sont un-à-un, alors la fonction $ (gof) $ est également un-à-un.
Si f et g sont sur alors la fonction $ (gof) $ l'est également.
La composition détient toujours la propriété associative mais ne détient pas la propriété commutative.