Mathématiques discrètes - Règles d'inférence

Déduire de nouvelles déclarations des déclarations dont nous connaissons déjà la vérité, Rules of Inference sont utilisés.

À quoi servent les règles d'inférence?

La logique mathématique est souvent utilisée pour les preuves logiques. Les preuves sont des arguments valides qui déterminent les valeurs de vérité des énoncés mathématiques.

Un argument est une séquence d'instructions. La dernière déclaration est la conclusion et toutes ses déclarations précédentes sont appelées prémisses (ou hypothèse). Le symbole «$ \ donc $», (lire donc) est placé avant la conclusion. Un argument valable est celui où la conclusion découle des valeurs de vérité des prémisses.

Les règles d'inférence fournissent les modèles ou les directives pour construire des arguments valides à partir des déclarations que nous avons déjà.

Table des règles d'inférence

Règle d'inférence	Nom	Règle d'inférence	Nom
$$ \ begin {matrice} P \\ \ hline \ donc P \ lor Q \ end {matrice} $$	Une addition	$$ \ begin {matrice} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \ donc Q \ end {matrice} $$	Syllogisme disjonctif
$$ \ begin {matrice} P \\ Q \\ \ hline \ donc P \ land Q \ end {matrice} $$	Conjonction	$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ donc P \ rightarrow R \ end {matrice} $$	Syllogisme hypothétique
$$ \ begin {matrice} P \ land Q \\ \ hline \ donc P \ end {matrice} $$	Simplification	$$ \ begin {matrice} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ donc Q \ lor S \ end {matrice} $$	Dilemme constructif
$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ donc Q \ end {matrice} $$	Modus Ponens	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ donc \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	Dilemme destructeur
$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ donc \ lnot P \ end {matrice} $$	Modus Tollens

Une addition

Si P est une prémisse, nous pouvons utiliser la règle d'addition pour dériver $ P \ lor Q $.

$$ \ begin {matrice} P \\ \ hline \ donc P \ lor Q \ end {matrice} $$

Exemple

Soit P la proposition, «Il étudie très dur» est vrai

Par conséquent - "Soit il étudie très dur, soit il est un très mauvais élève." Ici Q est la proposition «c'est un très mauvais élève».

Conjonction

Si P et Q sont deux prémisses, nous pouvons utiliser la règle de conjonction pour dériver $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matrice} P \\ Q \\ \ hline \ donc P \ land Q \ end {matrice} $$

Exemple

Soit P - "Il étudie très dur"

Soit Q - «Il est le meilleur garçon de la classe»

Par conséquent - "Il étudie très dur et il est le meilleur garçon de la classe"

Simplification

Si $ P \ land Q $ est une prémisse, nous pouvons utiliser la règle de simplification pour dériver P.

$$ \ begin {matrice} P \ land Q \\ \ hline \ donc P \ end {matrice} $$

Exemple

"Il étudie très dur et il est le meilleur garçon de la classe", $ P \ land Q $

Par conséquent - "Il étudie très dur"

Modus Ponens

Si P et $ P \ rightarrow Q $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser Modus Ponens pour dériver Q.

$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ donc Q \ end {matrice} $$

Exemple

"Si vous avez un mot de passe, vous pouvez vous connecter à Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Vous avez un mot de passe", P

Par conséquent - "Vous pouvez vous connecter à Facebook"

Modus Tollens

Si $ P \ rightarrow Q $ et $ \ lnot Q $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser Modus Tollens pour dériver $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ donc \ lnot P \ end {matrice} $$

Exemple

"Si vous avez un mot de passe, vous pouvez vous connecter à Facebook", $ P \ rightarrow Q $

"Vous ne pouvez pas vous connecter à Facebook", $ \ lnot Q $

Par conséquent - "Vous n'avez pas de mot de passe"

Syllogisme disjonctif

Si $ \ lnot P $ et $ P \ lor Q $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser le syllogisme disjonctif pour dériver Q.

$$ \ begin {matrice} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ donc Q \ end {matrice} $$

Exemple

"La glace n'est pas parfumée à la vanille", $ \ lnot P $

"La glace est soit à la vanille, soit au chocolat", $ P \ lor Q $

Par conséquent - "La glace est parfumée au chocolat"

Syllogisme hypothétique

Si $ P \ rightarrow Q $ et $ Q \ rightarrow R $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser le syllogisme hypothétique pour dériver $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrice} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ donc P \ rightarrow R \ end {matrice} $$

Exemple

"S'il pleut, je n'irai pas à l'école", $ P \ rightarrow Q $

"Si je ne vais pas à l'école, je n'aurai pas besoin de faire mes devoirs", $ Q \ rightarrow R $

Par conséquent - "S'il pleut, je n'aurai pas besoin de faire mes devoirs"

Dilemme constructif

Si $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ et $ P \ lor R $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser un dilemme constructif pour dériver $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matrice} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ donc Q \ lor S \ end {matrice} $$

Exemple

«S'il pleut, je vais prendre congé», $ (P \ rightarrow Q) $

«S'il fait chaud dehors, j'irai prendre une douche», $ (R \ rightarrow S) $

"Soit il pleuvra, soit il fera chaud dehors", $ P \ lor R $

Par conséquent - "Je vais prendre un congé ou je vais aller prendre une douche"

Dilemme destructeur

Si $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ et $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ sont deux prémisses, nous pouvons utiliser un dilemme destructeur pour dériver $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ donc \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

Exemple

«S'il pleut, je vais prendre congé», $ (P \ rightarrow Q) $

«S'il fait chaud dehors, j'irai prendre une douche», $ (R \ rightarrow S) $

«Soit je ne prendrai pas de congé, soit je n'irai pas prendre une douche», $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

Par conséquent - "Soit il ne pleut pas, soit il ne fait pas chaud dehors"