Opérateurs et postulats
La théorie des groupes est une branche des mathématiques et de l'algèbre abstraite qui définit une structure algébrique nommée group. En général, un groupe comprend un ensemble d'éléments et une opération sur deux éléments quelconques de cet ensemble pour former un troisième élément également dans cet ensemble.
En 1854, Arthur Cayley, le mathématicien britannique, a donné pour la première fois la définition moderne du groupe -
«Un ensemble de symboles tous différents, et tel que le produit de deux d'entre eux (quel que soit l'ordre), ou le produit de l'un d'entre eux en lui-même, appartient à l'ensemble, est dit être un groupe . Ces symboles ne sont en général pas convertibles [commutatifs], mais associatifs. »
Dans ce chapitre, nous connaîtrons operators and postulates qui forment les bases de la théorie des ensembles, de la théorie des groupes et de l'algèbre booléenne.
Tout ensemble d'éléments dans un système mathématique peut être défini avec un ensemble d'opérateurs et un certain nombre de postulats.
UNE binary operatordéfini sur un ensemble d'éléments est une règle qui attribue à chaque paire d'éléments un élément unique de cet ensemble. Par exemple, étant donné l'ensemble $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, on peut dire que $ \ otimes $ est un opérateur binaire pour l'opération $ c = a \ otimes b $, s'il spécifie une règle pour trouver c pour la paire de $ (a, b) $, telle que $ a, b, c \ dans A $.
le postulatesd'un système mathématique forment les hypothèses de base à partir desquelles les règles peuvent être déduites. Les postulats sont -
Fermeture
Un ensemble est fermé par rapport à un opérateur binaire si pour chaque paire d'éléments de l'ensemble, l'opérateur trouve un élément unique dans cet ensemble.
Exemple
Soit $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ points \ rbrace $
Cet ensemble est fermé sous l'opérateur binaire en $ (\ ast) $, car pour l'opération $ c = a \ ast b $, pour tout $ a, b \ dans A $, le produit $ c \ dans A $.
L'ensemble n'est pas fermé sous l'opérateur binaire divide $ (\ div) $, car, pour l'opération $ c = a \ div b $, pour tout $ a, b \ dans A $, le produit c peut ne pas être dans l'ensemble A. Si $ a = 7, b = 2 $, alors $ c = 3,5 $. Ici $ a, b \ dans A $ mais $ c \ notin A $.
Lois associatives
Un opérateur binaire $ \ otimes $ sur un ensemble A est associatif lorsqu'il détient la propriété suivante -
$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, où $ x, y, z \ dans A $
Exemple
Soit $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
L'opérateur plus $ (+) $ est associatif car pour trois éléments quelconques, $ x, y, z \ dans A $, la propriété $ (x + y) + z = x + (y + z) $ est valable.
L'opérateur moins $ (-) $ n'est pas associatif puisque
$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$
Lois commutatives
Un opérateur binaire $ \ otimes $ sur un ensemble A est commutatif lorsqu'il détient la propriété suivante -
$ x \ otimes y = y \ otimes x $, où $ x, y \ dans A $
Exemple
Soit $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
L'opérateur plus $ (+) $ est commutatif car pour deux éléments quelconques, $ x, y \ dans A $, la propriété $ x + y = y + x $ est valable.
L'opérateur moins $ (-) $ n'est pas associatif puisque
$$ x - y \ ne y - x $$
Lois distributives
Deux opérateurs binaires $ \ otimes $ et $ \ circledast $ sur un ensemble A, sont distributifs sur l'opérateur $ \ circledast $ lorsque la propriété suivante est vérifiée -
$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, où $ x, y, z \ dans A $
Exemple
Soit $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $
Les opérateurs dans $ (*) $ et plus $ (+) $ sont distributifs sur operator + car pour trois éléments quelconques, $ x, y, z \ dans A $, la propriété $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ tient.
Cependant, ces opérateurs ne sont pas distributifs sur $ * $ car
$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$
Élément d'identité
Un ensemble A a un élément d'identité par rapport à une opération binaire $ \ otimes $ sur A, s'il existe un élément $ e \ dans A $, tel que la propriété suivante contienne -
$ e \ otimes x = x \ otimes e $, où $ x \ dans A $
Exemple
Soit $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ points \ rbrace $
L'élément 1 est un élément d'identité par rapport à l'opération $ * $ puisque pour tout élément $ x \ dans Z $,
$$ 1 * x = x * 1 $$
En revanche, il n'y a pas d'élément d'identité pour l'opération moins $ (-) $
Inverse
Si un ensemble A a un élément d'identité $ e $ par rapport à un opérateur binaire $ \ otimes $, on dit qu'il a un inverse chaque fois que pour chaque élément $ x \ dans A $, il existe un autre élément $ y \ dans A $ , de sorte que la propriété suivante détient -
$$ x \ otimes y = e $$
Exemple
Soit $ A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $
Compte tenu de l'opération plus $ (+) $ et $ e = 0 $, l'inverse de tout élément x est $ (- x) $ puisque $ x + (x) = 0 $
Loi de Morgan
Les lois de De Morgan donnent une paire de transformations entre l'union et l'intersection de deux (ou plus) ensembles en termes de leurs compléments. Les lois sont -
$$ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$$
$$ (A \ cap B) '= A' \ tasse B '$$
Exemple
Soit $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace $, et
Ensemble universel $ U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace $
$ A '= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ B '= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace $
$ A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $
$ (A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $
Ainsi, on voit que $ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$
$ (A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
$ A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $
Ainsi, on voit que $ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$