Mathématiques discrètes - Probabilité

La probabilité est étroitement liée aux concepts de comptage. Nous essayons souvent de deviner les résultats des jeux de hasard, comme les jeux de cartes, les machines à sous et les loteries; c'est-à-dire que nous essayons de trouver la vraisemblance ou la probabilité qu'un résultat particulier soit obtenu.

Probabilitypeut être conceptualisé comme la recherche de la probabilité d'occurrence d'un événement. Mathématiquement, c'est l'étude des processus aléatoires et de leurs résultats. Les lois de probabilité ont une large applicabilité dans une variété de domaines comme la génétique, les prévisions météorologiques, les sondages d'opinion, les marchés boursiers, etc.

Concepts de base

La théorie des probabilités a été inventée au XVIIe siècle par deux mathématiciens français, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, qui étaient aux prises avec des problèmes mathématiques concernant le hasard.

Avant de passer aux détails de probabilité, voyons le concept de quelques définitions.

Random Experiment- Une expérience dans laquelle tous les résultats possibles sont connus et dont le résultat exact ne peut être prédit à l'avance est appelée une expérience aléatoire. Lancer une pièce équitable est un exemple d'expérience aléatoire.

Sample Space- Lorsque nous effectuons une expérience, l'ensemble S de tous les résultats possibles est appelé l'espace d'échantillonnage. Si nous jetons une pièce, l'espace échantillon $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Tout sous-ensemble d'un espace échantillon est appelé un événement. Après avoir lancé une pièce de monnaie, mettre la tête au sommet est un événement.

Le mot «probabilité» signifie la probabilité d'occurrence d'un événement particulier. Le mieux que nous puissions dire est la probabilité qu'ils se produisent, en utilisant l'idée de probabilité.

$ Probabilité \: of \: occurence \: of \: an \: event = \ frac {Total \: number \: of \: favorable \: result} {Total \: number \: of \: Outcomes} $

Comme l'occurrence d'un événement varie entre 0% et 100%, la probabilité varie entre 0 et 1.

Étapes pour trouver la probabilité

Étape 1 - Calculez tous les résultats possibles de l'expérience.

Étape 2 - Calculez le nombre de résultats favorables de l'expérience.

Étape 3 - Appliquez la formule de probabilité correspondante.

Lancer une pièce

Si une pièce est lancée, il y a deux résultats possibles - Heads $ (H) $ ou Tails $ (T) $

Donc, nombre total de résultats = 2

Par conséquent, la probabilité d'obtenir un Head $ (H) $ en haut est de 1/2 et la probabilité d'obtenir un Tails $ (T) $ en haut est de 1/2

Lancer un dé

Lorsqu'un dé est lancé, six résultats possibles peuvent être sur le dessus - 1 $, 2, 3, 4, 5, 6 $.

La probabilité de l'un des nombres est 1/6

La probabilité d'obtenir des nombres pairs est 3/6 = 1/2

La probabilité d'obtenir des nombres impairs est 3/6 = 1/2

Prendre des cartes d'un deck

À partir d'un jeu de 52 cartes, si une carte est choisie, trouvez la probabilité qu'un as soit tiré et trouvez également la probabilité qu'un diamant soit tiré.

Nombre total de résultats possibles - 52

Résultats d'être un as - 4

Probabilité d'être un as = 4/52 = 1/13

Probabilité d'être un diamant = 13/52 = 1/4

Axiomes de probabilité

  • La probabilité d'un événement varie toujours de 0 à 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $

  • Pour un événement impossible, la probabilité est de 0 et pour un certain événement, la probabilité est de 1.

  • Si l'occurrence d'un événement n'est pas influencée par un autre événement, ils sont appelés mutuellement exclusifs ou disjoints.

    Si $ A_1, A_2 .... A_n $ sont des événements mutuellement exclusifs / disjoints, alors $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ pour $ i \ ne j $ et $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Propriétés de la probabilité

  • S'il y a deux événements $ x $ et $ \ overline {x} $ qui sont complémentaires, alors la probabilité de l'événement complémentaire est -

    $$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$

  • Pour deux événements non disjoints A et B, la probabilité de l'union de deux événements -

    $ P (A \ coupe B) = P (A) + P (B) $

  • Si un événement A est un sous-ensemble d'un autre événement B (c'est-à-dire $ A \ sous-ensemble B $), alors la probabilité de A est inférieure ou égale à la probabilité de B. Par conséquent, $ A \ sous-ensemble B $ implique $ P (A ) \ leq p (B) $

Probabilite conditionnelle

La probabilité conditionnelle d'un événement B est la probabilité que l'événement se produise étant donné qu'un événement A s'est déjà produit. Cela s'écrit $ P (B | A) $.

Mathématiquement - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Si les événements A et B sont mutuellement exclusifs, alors la probabilité conditionnelle de l'événement B après l'événement A sera la probabilité de l'événement B qui est $ P (B) $.

Problem 1

Dans un pays, 50% de tous les adolescents possèdent un vélo et 30% de tous les adolescents possèdent un vélo et un vélo. Quelle est la probabilité qu'un adolescent possède un vélo étant donné que l'adolescent possède un vélo?

Solution

Supposons que A est l'événement d'adolescents possédant seulement un vélo et B est l'événement d'adolescents possédant seulement un vélo.

Donc, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ et $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ du problème donné.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Par conséquent, la probabilité qu'un adolescent possède un vélo étant donné que l'adolescent possède un vélo est de 60%.

Problem 2

Dans une classe, 50% de tous les élèves jouent au cricket et 25% de tous les élèves jouent au cricket et au volleyball. Quelle est la probabilité qu'un élève joue au volleyball étant donné que l'élève joue au cricket?

Solution

Supposons que A est l'événement d'élèves jouant uniquement au cricket et B est l'événement d'élèves jouant uniquement au volleyball.

Donc, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ et $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ du problème donné.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Par conséquent, la probabilité qu'un élève joue au volleyball étant donné que l'élève joue au cricket est de 50%.

Problem 3

Six bons ordinateurs portables et trois ordinateurs portables défectueux sont mélangés. Pour trouver les ordinateurs portables défectueux, tous sont testés un par un au hasard. Quelle est la probabilité de trouver les deux ordinateurs portables défectueux dans les deux premiers choix?

Solution

Soit A l'événement où nous trouvons un ordinateur portable défectueux dans le premier test et B l'événement où nous trouvons un ordinateur portable défectueux dans le deuxième test.

Par conséquent, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

Théorème de Bayes

Theorem- Si A et B sont deux événements mutuellement exclusifs, où $ P (A) $ est la probabilité de A et $ P (B) $ est la probabilité de B, $ P (A | B) $ est la probabilité de A donné que B est vrai. $ P (B | A) $ est la probabilité de B étant donné que A est vrai, alors le théorème de Bayes déclare -

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Application du théorème de Bayes

  • Dans les situations où tous les événements de l'espace échantillon sont des événements mutuellement exclusifs.

  • Dans les situations où $ P (A_i \ cap B) $ pour chaque $ A_i $ ou $ P (A_i) $ et $ P (B | A_i) $ pour chaque $ A_i $ est connu.

Problem

Considérez trois porte-stylos. Le premier porte-stylo contient 2 stylos rouges et 3 stylos bleus; le second a 3 stylos rouges et 2 stylos bleus; et le troisième a 4 stylos rouges et 1 stylo bleu. Il y a une probabilité égale que chaque stylo-support soit sélectionné. Si un stylo est tiré au hasard, quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un stylo rouge?

Solution

Soit $ A_i $ l'événement où le i ème porte -plume est sélectionné.

Ici, i = 1,2,3.

Puisque la probabilité de choisir un porte-plume est égale, $ P (A_i) = 1/3 $

Soit B l'événement où un stylo rouge est dessiné.

La probabilité qu'un stylo rouge soit choisi parmi les cinq stylos du premier porte-stylo,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

La probabilité qu'un stylo rouge soit choisi parmi les cinq stylos du deuxième porte-stylo,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

La probabilité qu'un stylo rouge soit choisi parmi les cinq stylos du troisième porte-stylo,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Selon le théorème de Bayes,

$ P (B) = P (A_1) .P (B | A_1) + P (A_2) .P (B | A_2) + P (A_3) .P (B | A_3) $

$ = 1/3. 2/5 \: + \: 1/3. 3/5 \: + \: 1/3. 4/5 $

$ = 3/5 $