Logique floue - Théorie classique des ensembles

UNE setest une collection non ordonnée de différents éléments. Il peut être écrit explicitement en listant ses éléments à l'aide de la parenthèse définie. Si l'ordre des éléments est modifié ou si tout élément d'un ensemble est répété, il n'apporte aucune modification à l'ensemble.

Exemple

  • Un ensemble de tous les entiers positifs.
  • Un ensemble de toutes les planètes du système solaire.
  • Un ensemble de tous les États de l'Inde.
  • Un ensemble de toutes les lettres minuscules de l'alphabet.

Représentation mathématique d'un ensemble

Les ensembles peuvent être représentés de deux manières -

Liste ou forme tabulaire

Sous cette forme, un ensemble est représenté en listant tous les éléments le composant. Les éléments sont placés entre accolades et séparés par des virgules.

Voici les exemples d'ensemble en liste ou sous forme tabulaire -

  • Ensemble de voyelles en alphabet anglais, A = {a, e, i, o, u}
  • Ensemble de nombres impairs inférieurs à 10, B = {1,3,5,7,9}

Définir la notation du générateur

Dans cette forme, l'ensemble est défini en spécifiant une propriété que les éléments de l'ensemble ont en commun. L'ensemble est décrit comme A = {x: p (x)}

Example 1 - L'ensemble {a, e, i, o, u} s'écrit

A = {x: x est une voyelle en alphabet anglais}

Example 2 - L'ensemble {1,3,5,7,9} s'écrit

B = {x: 1 ≤ x <10 et (x% 2) ≠ 0}

Si un élément x est membre de tout ensemble S, il est noté x∈S et si un élément y n'est pas membre de l'ensemble S, il est noté y∉S.

Example - Si S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S mais 1,5 ∉ S

Cardinalité d'un ensemble

La cardinalité d'un ensemble S, notée | S || S |, est le nombre d'éléments de l'ensemble. Le nombre est également appelé nombre cardinal. Si un ensemble a un nombre infini d'éléments, sa cardinalité est ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

S'il y a deux ensembles X et Y, | X | = | Y | désigne deux ensembles X et Y ayant la même cardinalité. Cela se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est exactement égal au nombre d'éléments dans Y. Dans ce cas, il existe une fonction bijective 'f' de X à Y.

| X | ≤ | Y | indique que la cardinalité de l'ensemble X est inférieure ou égale à la cardinalité de l'ensemble Y. Il se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est inférieur ou égal à celui de Y. Ici, il existe une fonction injective 'f' de X à Y.

| X | <| Y | indique que la cardinalité de l'ensemble X est inférieure à la cardinalité de l'ensemble Y. Cela se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est inférieur à celui de Y. Ici, la fonction 'f' de X à Y est une fonction injective mais pas bijective.

Si | X | ≤ | Y | et | X | ≤ | Y | alors | X | = | Y | . Les ensembles X et Y sont communément appelésequivalent sets.

Types d'ensembles

Les ensembles peuvent être classés en plusieurs types; dont certains sont finis, infinis, sous-ensemble, universels, propres, singleton, etc.

Ensemble fini

Un ensemble qui contient un nombre défini d'éléments est appelé un ensemble fini.

Example - S = {x | x ∈ N et 70> x> 50}

Ensemble infini

Un ensemble qui contient un nombre infini d'éléments est appelé un ensemble infini.

Example - S = {x | x ∈ N et x> 10}

Sous-ensemble

Un ensemble X est un sous-ensemble de l'ensemble Y (écrit comme X ⊆ Y) si chaque élément de X est un élément de l'ensemble Y.

Example 1- Soit X = {1,2,3,4,5,6} et Y = {1,2}. Ici, l'ensemble Y est un sous-ensemble de l'ensemble X car tous les éléments de l'ensemble Y sont dans l'ensemble X. On peut donc écrire Y⊆X.

Example 2- Soit X = {1,2,3} et Y = {1,2,3}. Ici, l'ensemble Y est un sous-ensemble (pas un sous-ensemble propre) de l'ensemble X car tous les éléments de l'ensemble Y sont dans l'ensemble X. Par conséquent, nous pouvons écrire Y⊆X.

Sous-ensemble approprié

Le terme «sous-ensemble propre» peut être défini comme «sous-ensemble de mais non égal à». Un ensemble X est un sous-ensemble propre de l'ensemble Y (écrit comme X ⊂ Y) si chaque élément de X est un élément de l'ensemble Y et | X | <| Y |.

Example- Soit X = {1,2,3,4,5,6} et Y = {1,2}. Ici, ensemble Y ⊂ X, puisque tous les éléments de Y sont également contenus dans X et X a au moins un élément qui est plus que l'ensemble Y.

Ensemble universel

C'est une collection de tous les éléments dans un contexte ou une application particulière. Tous les ensembles dans ce contexte ou cette application sont essentiellement des sous-ensembles de cet ensemble universel. Les ensembles universels sont représentés par U.

Example- Nous pouvons définir U comme l'ensemble de tous les animaux sur terre. Dans ce cas, un ensemble de tous les mammifères est un sous-ensemble de U, un ensemble de tous les poissons est un sous-ensemble de U, un ensemble de tous les insectes est un sous-ensemble de U, et ainsi de suite.

Ensemble vide ou ensemble nul

Un ensemble vide ne contient aucun élément. Il est noté Φ. Comme le nombre d'éléments dans un ensemble vide est fini, l'ensemble vide est un ensemble fini. La cardinalité d'un ensemble vide ou d'un ensemble nul est zéro.

Example - S = {x | x ∈ N et 7 <x <8} = Φ

Ensemble singleton ou ensemble d'unité

Un ensemble Singleton ou un ensemble d'unités ne contient qu'un seul élément. Un ensemble de singleton est noté {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Ensemble égal

Si deux ensembles contiennent les mêmes éléments, ils sont dits égaux.

Example - Si A = {1,2,6} et B = {6,1,2}, ils sont égaux car chaque élément de l'ensemble A est un élément de l'ensemble B et chaque élément de l'ensemble B est un élément de l'ensemble A.

Ensemble équivalent

Si les cardinalités de deux ensembles sont identiques, elles sont appelées ensembles équivalents.

Example- Si A = {1,2,6} et B = {16,17,22}, ils sont équivalents car la cardinalité de A est égale à la cardinalité de B. ie | A | = | B | = 3

Ensemble de chevauchement

Deux ensembles qui ont au moins un élément commun sont appelés ensembles se chevauchant. En cas de chevauchement d'ensembles -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ gauche (A \ droite) = n \ gauche (AB \ droite) + n \ gauche (A \ cap B \ droite) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Soit A = {1,2,6} et B = {6,12,42}. Il y a un élément commun «6», donc ces ensembles sont des ensembles qui se chevauchent.

Ensemble disjoint

Deux ensembles A et B sont appelés ensembles disjoints s'ils n'ont même pas un élément en commun. Par conséquent, les ensembles disjoints ont les propriétés suivantes -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Soit A = {1,2,6} et B = {7,9,14}, il n'y a pas un seul élément commun, donc ces ensembles sont des ensembles qui se chevauchent.

Opérations sur les décors classiques

Les opérations d'ensemble incluent l'union d'ensemble, l'intersection d'ensemble, la différence d'ensemble, le complément d'ensemble et le produit cartésien.

syndicat

L'union des ensembles A et B (notée A ∪ BA ∪ B) est l'ensemble des éléments qui sont dans A, dans B, ou à la fois dans A et B. Par conséquent, A ∪ B = {x | x ∈ A OU x ∈ B}.

Example - Si A = {10,11,12,13} et B = {13,14,15}, alors A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - L'élément commun n'apparaît qu'une seule fois.

Intersection

L'intersection des ensembles A et B (notée A ∩ B) est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B. Par conséquent, A ∩ B = {x | x ∈ A ET x ∈ B}.

Différence / complément relatif

La différence d'ensemble des ensembles A et B (notée A – B) est l'ensemble des éléments qui sont uniquement dans A mais pas dans B. Par conséquent, A - B = {x | x ∈ A ET x ∉ B}.

Example- Si A = {10,11,12,13} et B = {13,14,15}, alors (A - B) = {10,11,12} et (B - A) = {14,15} . Ici, on peut voir (A - B) ≠ (B - A)

Complément d'un ensemble

Le complément d'un ensemble A (noté A ′) est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans l'ensemble A. Ainsi, A ′ = {x | x ∉ A}.

Plus précisément, A ′ = (U − A) où U est un ensemble universel qui contient tous les objets.

Example - Si A = {x | x appartient à l'ensemble des entiers additionnels} alors A ′ = {y | y n'appartient pas à l'ensemble des entiers impairs}

Produit cartésien / produit croisé

Le produit cartésien de n nombre d'ensembles A1, A2,… An noté A1 × A2 ... × An peut être défini comme toutes les paires ordonnées possibles (x1, x2,… xn) où x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Si nous prenons deux ensembles A = {a, b} et B = {1,2},

Le produit cartésien de A et B s'écrit - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Et, le produit cartésien de B et A s'écrit - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Propriétés des ensembles classiques

Les propriétés sur les ensembles jouent un rôle important pour obtenir la solution. Voici les différentes propriétés des ensembles classiques -

Propriété commutative

Avoir deux ensembles A et B, cette propriété indique -

$$ A \ tasse B = B \ tasse A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Propriété associative

Avoir trois ensembles A, B et C, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Propriété distributive

Avoir trois ensembles A, B et C, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Propriété Idempotency

Pour tout ensemble A, cette propriété indique -

$$ A \ tasse A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Propriété d'identité

Pour ensemble A et ensemble universel X, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ tasse X = X $$

Propriété transitive

Avoir trois ensembles A, B et C, la propriété indique -

Si $ A \ subseteq B \ subseteq C $, alors $ A \ subseteq C $

Propriété Involution

Pour tout ensemble A, cette propriété indique -

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

Loi de Morgan

C'est une loi très importante et des supports pour prouver les tautologies et les contradictions. Cette loi stipule -

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$