Fuzzy Logic - Guide rapide

Le mot fuzzyfait référence à des choses qui ne sont pas claires ou qui sont vagues. Tout événement, processus ou fonction qui change continuellement ne peut pas toujours être défini comme vrai ou faux, ce qui signifie que nous devons définir ces activités de manière floue.

Qu'est-ce que la logique floue?

La logique floue ressemble à la méthodologie de prise de décision humaine. Il traite d'informations vagues et imprécises. Il s'agit d'une simplification excessive des problèmes du monde réel et basée sur des degrés de vérité plutôt que sur la logique habituelle vrai / faux ou 1/0 comme la logique booléenne.

Jetez un œil au diagramme suivant. Il montre que dans les systèmes flous, les valeurs sont indiquées par un nombre compris entre 0 et 1. Ici, 1.0 représenteabsolute truth et 0,0 représente absolute falseness. Le nombre qui indique la valeur dans les systèmes flous est appelé letruth value.

En d'autres termes, nous pouvons dire que la logique floue n'est pas une logique floue, mais une logique qui est utilisée pour décrire le flou. Il peut y avoir de nombreux autres exemples comme celui-ci à l'aide desquels nous pouvons comprendre le concept de logique floue.

Fuzzy Logic a été introduit en 1965 par Lofti A. Zadeh dans son article de recherche «Fuzzy Sets». Il est considéré comme le père de Fuzzy Logic.

UNE setest une collection non ordonnée de différents éléments. Il peut être écrit explicitement en listant ses éléments à l'aide de la parenthèse définie. Si l'ordre des éléments est modifié ou si tout élément d'un ensemble est répété, il n'apporte aucune modification à l'ensemble.

Exemple

• Un ensemble de tous les entiers positifs.
• Un ensemble de toutes les planètes du système solaire.
• Un ensemble de tous les États de l'Inde.
• Un ensemble de toutes les lettres minuscules de l'alphabet.

Représentation mathématique d'un ensemble

Les ensembles peuvent être représentés de deux manières -

Liste ou forme tabulaire

Sous cette forme, un ensemble est représenté en listant tous les éléments le composant. Les éléments sont placés entre accolades et séparés par des virgules.

Voici les exemples d'ensemble en liste ou sous forme tabulaire -

• Ensemble de voyelles en alphabet anglais, A = {a, e, i, o, u}
• Ensemble de nombres impairs inférieurs à 10, B = {1,3,5,7,9}

Définir la notation du générateur

Dans cette forme, l'ensemble est défini en spécifiant une propriété que les éléments de l'ensemble ont en commun. L'ensemble est décrit comme A = {x: p (x)}

Example 1 - L'ensemble {a, e, i, o, u} s'écrit

A = {x: x est une voyelle en alphabet anglais}

Example 2 - L'ensemble {1,3,5,7,9} s'écrit

B = {x: 1 ≤ x <10 et (x% 2) ≠ 0}

Si un élément x est membre de tout ensemble S, il est noté x∈S et si un élément y n'est pas membre de l'ensemble S, il est noté y∉S.

Example - Si S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S mais 1,5 ∉ S

Cardinalité d'un ensemble

La cardinalité d'un ensemble S, notée | S || S |, est le nombre d'éléments de l'ensemble. Le nombre est également appelé nombre cardinal. Si un ensemble a un nombre infini d'éléments, sa cardinalité est ∞∞.

Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

S'il y a deux ensembles X et Y, | X | = | Y | désigne deux ensembles X et Y ayant la même cardinalité. Cela se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est exactement égal au nombre d'éléments dans Y. Dans ce cas, il existe une fonction bijective 'f' de X à Y.

| X | ≤ | Y | indique que la cardinalité de l'ensemble X est inférieure ou égale à la cardinalité de l'ensemble Y. Il se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est inférieur ou égal à celui de Y. Ici, il existe une fonction injective 'f' de X à Y.

| X | <| Y | indique que la cardinalité de l'ensemble X est inférieure à la cardinalité de l'ensemble Y. Cela se produit lorsque le nombre d'éléments dans X est inférieur à celui de Y. Ici, la fonction 'f' de X à Y est une fonction injective mais pas bijective.

Si | X | ≤ | Y | et | X | ≤ | Y | alors | X | = | Y | . Les ensembles X et Y sont communément appelésequivalent sets.

Types d'ensembles

Les ensembles peuvent être classés en plusieurs types; dont certains sont finis, infinis, sous-ensemble, universels, propres, singleton, etc.

Ensemble fini

Un ensemble qui contient un nombre défini d'éléments est appelé un ensemble fini.

Example - S = {x | x ∈ N et 70> x> 50}

Ensemble infini

Un ensemble qui contient un nombre infini d'éléments est appelé un ensemble infini.

Example - S = {x | x ∈ N et x> 10}

Sous-ensemble

Un ensemble X est un sous-ensemble de l'ensemble Y (écrit comme X ⊆ Y) si chaque élément de X est un élément de l'ensemble Y.

Example 1- Soit X = {1,2,3,4,5,6} et Y = {1,2}. Ici, l'ensemble Y est un sous-ensemble de l'ensemble X car tous les éléments de l'ensemble Y sont dans l'ensemble X. On peut donc écrire Y⊆X.

Example 2- Soit X = {1,2,3} et Y = {1,2,3}. Ici, l'ensemble Y est un sous-ensemble (pas un sous-ensemble propre) de l'ensemble X car tous les éléments de l'ensemble Y sont dans l'ensemble X. On peut donc écrire Y⊆X.

Sous-ensemble approprié

Le terme «sous-ensemble propre» peut être défini comme «sous-ensemble de mais non égal à». Un ensemble X est un sous-ensemble propre de l'ensemble Y (écrit comme X ⊂ Y) si chaque élément de X est un élément de l'ensemble Y et | X | <| Y |.

Example- Soit X = {1,2,3,4,5,6} et Y = {1,2}. Ici, ensemble Y ⊂ X, puisque tous les éléments de Y sont également contenus dans X et X a au moins un élément qui est plus que l'ensemble Y.

Ensemble universel

C'est une collection de tous les éléments dans un contexte ou une application particulière. Tous les ensembles dans ce contexte ou cette application sont essentiellement des sous-ensembles de cet ensemble universel. Les ensembles universels sont représentés par U.

Example- Nous pouvons définir U comme l'ensemble de tous les animaux sur terre. Dans ce cas, un ensemble de tous les mammifères est un sous-ensemble de U, un ensemble de tous les poissons est un sous-ensemble de U, un ensemble de tous les insectes est un sous-ensemble de U, et ainsi de suite.

Ensemble vide ou ensemble nul

Un ensemble vide ne contient aucun élément. Il est noté Φ. Comme le nombre d'éléments dans un ensemble vide est fini, l'ensemble vide est un ensemble fini. La cardinalité d'un ensemble vide ou d'un ensemble nul est zéro.

Example - S = {x | x ∈ N et 7 <x <8} = Φ

Ensemble singleton ou ensemble d'unité

Un ensemble Singleton ou un ensemble d'unités ne contient qu'un seul élément. Un ensemble de singleton est noté {s}.

Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Ensemble égal

Si deux ensembles contiennent les mêmes éléments, ils sont dits égaux.

Example - Si A = {1,2,6} et B = {6,1,2}, ils sont égaux car chaque élément de l'ensemble A est un élément de l'ensemble B et chaque élément de l'ensemble B est un élément de l'ensemble A.

Ensemble équivalent

Si les cardinalités de deux ensembles sont identiques, elles sont appelées ensembles équivalents.

Example- Si A = {1,2,6} et B = {16,17,22}, ils sont équivalents car la cardinalité de A est égale à la cardinalité de B. ie | A | = | B | = 3

Ensemble de chevauchement

Deux ensembles qui ont au moins un élément commun sont appelés ensembles se chevauchant. En cas de chevauchement d'ensembles -

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) - n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (AB \ right) + n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

$$ n \ gauche (A \ droite) = n \ gauche (AB \ droite) + n \ gauche (A \ cap B \ droite) $$

$$ n \ left (B \ right) = n \ left (BA \ right) + n \ left (A \ cap B \ right) $$

Example- Soit A = {1,2,6} et B = {6,12,42}. Il y a un élément commun «6», donc ces ensembles sont des ensembles qui se chevauchent.

Ensemble disjoint

Deux ensembles A et B sont appelés ensembles disjoints s'ils n'ont même pas un élément en commun. Par conséquent, les ensembles disjoints ont les propriétés suivantes -

$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$

$$ n \ left (A \ cup B \ right) = n \ left (A \ right) + n \ left (B \ right) $$

Example - Soit A = {1,2,6} et B = {7,9,14}, il n'y a pas un seul élément commun, donc ces ensembles sont des ensembles qui se chevauchent.

Opérations sur les décors classiques

Les opérations d'ensemble incluent l'union d'ensemble, l'intersection d'ensemble, la différence d'ensemble, le complément d'ensemble et le produit cartésien.

syndicat

L'union des ensembles A et B (notée A ∪ BA ∪ B) est l'ensemble des éléments qui sont dans A, dans B, ou à la fois dans A et B. Par conséquent, A ∪ B = {x | x ∈ A OU x ∈ B}.

Example - Si A = {10,11,12,13} et B = {13,14,15}, alors A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - L'élément commun n'apparaît qu'une seule fois.

Intersection

L'intersection des ensembles A et B (notée A ∩ B) est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B. Par conséquent, A ∩ B = {x | x ∈ A ET x ∈ B}.

Différence / complément relatif

La différence d'ensemble des ensembles A et B (notée A – B) est l'ensemble des éléments qui sont uniquement dans A mais pas dans B. Par conséquent, A - B = {x | x ∈ A ET x ∉ B}.

Example- Si A = {10,11,12,13} et B = {13,14,15}, alors (A - B) = {10,11,12} et (B - A) = {14,15} . Ici, on peut voir (A - B) ≠ (B - A)

Complément d'un ensemble

Le complément d'un ensemble A (noté A ′) est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans l'ensemble A. Ainsi, A ′ = {x | x ∉ A}.

Plus précisément, A ′ = (U − A) où U est un ensemble universel qui contient tous les objets.

Example - Si A = {x | x appartient à l'ensemble des entiers additionnels} alors A ′ = {y | y n'appartient pas à l'ensemble des entiers impairs}

Produit cartésien / produit croisé

Le produit cartésien de n nombre d'ensembles A1, A2,… An noté A1 × A2 ... × An peut être défini comme toutes les paires ordonnées possibles (x1, x2,… xn) où x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Example - Si nous prenons deux ensembles A = {a, b} et B = {1,2},

Le produit cartésien de A et B s'écrit - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

Et, le produit cartésien de B et A s'écrit - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Propriétés des ensembles classiques

Les propriétés sur les ensembles jouent un rôle important pour obtenir la solution. Voici les différentes propriétés des ensembles classiques -

Propriété commutative

Avoir deux ensembles A et B, cette propriété indique -

$$ A \ tasse B = B \ tasse A $$

$$ A \ cap B = B \ cap A $$

Propriété associative

Avoir trois ensembles A, B et C, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cup C $$

$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$

Propriété distributive

Avoir trois ensembles A, B et C, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cup B \ right) \ cap \ left (A \ cup C \ right) $$

$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$

Propriété Idempotency

Pour tout ensemble A, cette propriété indique -

$$ A \ tasse A = A $$

$$ A \ cap A = A $$

Propriété d'identité

Pour ensemble A et ensemble universel X, cette propriété indique -

$$ A \ cup \ varphi = A $$

$$ A \ cap X = A $$

$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ A \ tasse X = X $$

Propriété transitive

Avoir trois ensembles A, B et C, la propriété indique -

Si $ A \ subseteq B \ subseteq C $, alors $ A \ subseteq C $

Propriété Involution

Pour tout ensemble A, cette propriété indique -

$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$

Loi de Morgan

C'est une loi très importante et des supports pour prouver les tautologies et les contradictions. Cette loi stipule -

$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ cup \ overline {B} $$

$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$

Les ensembles flous peuvent être considérés comme une extension et une simplification excessive des ensembles classiques. Il peut être mieux compris dans le contexte de l'appartenance à un ensemble. Fondamentalement, il permet une appartenance partielle, ce qui signifie qu'il contient des éléments qui ont des degrés divers d'appartenance à l'ensemble. À partir de là, nous pouvons comprendre la différence entre un ensemble classique et un ensemble flou. L'ensemble classique contient des éléments qui satisfont des propriétés précises d'appartenance tandis que l'ensemble flou contient des éléments qui satisfont des propriétés d'appartenance imprécises.

Concept mathématique

Un ensemble flou $ \ widetilde {A} $ dans l'univers d'information $ U $ peut être défini comme un ensemble de paires ordonnées et il peut être représenté mathématiquement par -

$$ \ widetilde {A} = \ gauche \ {\ gauche (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ gauche (y \ droite) \ droite) | y \ in U \ right \} $$

Ici $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = degré d'appartenance de $ y $ dans \ widetilde {A}, suppose des valeurs comprises entre 0 et 1, soit $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Représentation d'un ensemble flou

Considérons maintenant deux cas d'univers d'informations et comprenons comment un ensemble flou peut être représenté.

Cas 1

Quand l'univers d'information $ U $ est discret et fini -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Cas 2

Quand l'univers d'information $ U $ est continu et infini -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

Dans la représentation ci-dessus, le symbole de sommation représente la collection de chaque élément.

Opérations sur des ensembles flous

Ayant deux ensembles flous $ \ widetilde {A} $ et $ \ widetilde {B} $, l'univers d'information $ U $ et un élément ð ?? '¦ de l'univers, les relations suivantes expriment l'opération d'union, d'intersection et de complément sur des ensembles flous.

Union / Fuzzy «OU»

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Union/Fuzzy ‘OR’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Ici ∨ représente l'opération «max».

Intersection / Fuzzy «ET»

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Intersection/Fuzzy ‘AND’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Ici ∧ représente l'opération «min».

Complément / Flou «NON»

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Complement/Fuzzy ‘NOT’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Propriétés des ensembles flous

Discutons des différentes propriétés des ensembles flous.

Propriété commutative

Ayant deux ensembles flous $ \ widetilde {A} $ et $ \ widetilde {B} $, cette propriété déclare -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propriété associative

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propriété distributive

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propriété Idempotency

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, cette propriété indique -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propriété d'identité

Pour l'ensemble flou $ \ widetilde {A} $ et l'ensemble universel $ U $, cette propriété indique -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Propriété transitive

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ If \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propriété Involution

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, cette propriété indique -

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Loi de Morgan

Cette loi joue un rôle crucial dans la preuve des tautologies et des contradictions. Cette loi stipule -

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$

Nous savons déjà que la logique floue n'est pas une logique floue mais une logique utilisée pour décrire le flou. Ce flou est le mieux caractérisé par sa fonction d'appartenance. En d'autres termes, nous pouvons dire que la fonction d'appartenance représente le degré de vérité en logique floue.

Voici quelques points importants relatifs à la fonction d'adhésion -

• Les fonctions d'appartenance ont été introduites pour la première fois en 1965 par Lofti A. Zadeh dans son premier article de recherche «Fuzzy sets».

• Les fonctions d'appartenance caractérisent le flou (c'est-à-dire toutes les informations d'un ensemble flou), que les éléments des ensembles flous soient discrets ou continus.

• Les fonctions d'appartenance peuvent être définies comme une technique permettant de résoudre des problèmes pratiques par l'expérience plutôt que par la connaissance.

• Les fonctions d'appartenance sont représentées par des formes graphiques.

• Les règles de définition du flou sont également floues.

Notation mathématique

Nous avons déjà étudié qu'un ensemble flou à dans l'univers d'information U peut être défini comme un ensemble de paires ordonnées et il peut être représenté mathématiquement par -

$$ \ widetilde {A} = \ gauche \ {\ gauche (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ gauche (y \ droite) \ droite) | y \ in U \ right \} $$

Ici $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = fonction d'appartenance de $ \ widetilde {A} $; cela suppose des valeurs comprises entre 0 et 1, c'est-à-dire $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. La fonction d'appartenance $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mappe $ U $ à l'espace d'appartenance $ M $.

Le point $ \ left (\ bullet \ right) $ dans la fonction d'appartenance décrite ci-dessus, représente l'élément dans un ensemble flou; qu'elle soit discrète ou continue.

Caractéristiques des fonctions d'adhésion

Nous allons maintenant discuter des différentes fonctionnalités des fonctions d'adhésion.

Coeur

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, le noyau d'une fonction d'appartenance est cette région de l'univers qui est caractérisée par l'appartenance complète à l'ensemble. Par conséquent, le noyau est constitué de tous ces éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Soutien

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, le support d'une fonction d'appartenance est la région de l'univers qui est caractérisée par une appartenance différente de zéro à l'ensemble. Le noyau est donc constitué de tous les éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Frontière

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, la limite d'une fonction d'appartenance est la région de l'univers qui est caractérisée par une appartenance non nulle mais incomplète à l'ensemble. Par conséquent, le noyau est constitué de tous ces éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzification

Il peut être défini comme le processus de transformation d'un ensemble net en un ensemble flou ou d'un ensemble flou en un ensemble plus flou. Fondamentalement, cette opération traduit des valeurs d'entrée précises et précises en variables linguistiques.

Voici les deux méthodes importantes de fuzzification -

Prise en charge de la méthode de fuzzification (s-fuzzification)

Dans cette méthode, l'ensemble fuzzifié peut être exprimé à l'aide de la relation suivante -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ gauche (x_1 \ droite) + \ mu _2Q \ gauche (x_2 \ droite) + ... + \ mu _nQ \ gauche (x_n \ droite) $$

Ici l'ensemble flou $ Q \ left (x_i \ right) $ est appelé comme noyau de fuzzification. Cette méthode est implémentée en gardant $ \ mu _i $ constant et $ x_i $ étant transformé en un ensemble flou $ Q \ left (x_i \ right) $.

Méthode de fuzzification de grade (g-fuzzification)

Elle est assez similaire à la méthode ci-dessus, mais la principale différence est qu'elle a gardé $ x_i $ constant et $ \ mu _i $ est exprimé sous la forme d'un ensemble flou.

Défuzzification

Il peut être défini comme le processus consistant à réduire un ensemble flou en un ensemble net ou à convertir un élément flou en un élément net.

Nous avons déjà étudié que le processus de fuzzification implique la conversion de quantités nettes en quantités floues. Dans un certain nombre d'applications d'ingénierie, il est nécessaire de défuzzifier le résultat ou plutôt «résultat flou» afin qu'il doive être converti en résultat net. Mathématiquement, le processus de défuzzification est également appelé «arrondir».

Les différentes méthodes de défuzzification sont décrites ci-dessous -

Méthode d'adhésion maximale

Cette méthode est limitée aux fonctions de sortie de crête et également connue sous le nom de méthode de hauteur. Mathématiquement, il peut être représenté comme suit -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$

Ici, $ x ^ * $ est la sortie défuzzifiée.

Méthode centroïde

Cette méthode est également connue sous le nom de méthode du centre de surface ou du centre de gravité. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Méthode de la moyenne pondérée

Dans cette méthode, chaque fonction d'appartenance est pondérée par sa valeur d'appartenance maximale. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Adhésion Mean-Max

Cette méthode est également connue comme le milieu des maxima. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$

La logique, qui n'était à l'origine que l'étude de ce qui distingue l'argument solide de l'argument non fondé, s'est maintenant développée en un système puissant et rigoureux par lequel de vraies déclarations peuvent être découvertes, étant donné d'autres déclarations qui sont déjà connues pour être vraies.

Prédis la logique

Cette logique traite des prédicats, qui sont des propositions contenant des variables.

Un prédicat est une expression d'une ou plusieurs variables définies sur un domaine spécifique. Un prédicat avec des variables peut être une proposition en attribuant une valeur à la variable ou en quantifiant la variable.

Voici quelques exemples de prédicats -

• Soit E (x, y) "x = y"
• Soit X (a, b, c) "a + b + c = 0"
• Soit M (x, y) "x est marié à y"

Logique propositionnelle

Une proposition est un ensemble d'énoncés déclaratifs qui ont soit une valeur de vérité «vrai», soit une valeur de vérité «faux». Une proposition est constituée de variables propositionnelles et de connecteurs. Les variables propositionnelles sont entachées de majuscules (A, B, etc.). Les connecteurs connectent les variables propositionnelles.

Quelques exemples de propositions sont donnés ci-dessous -

• "L'homme est mortel", il renvoie la valeur de vérité "TRUE"
• "12 + 9 = 3 - 2", il renvoie la valeur de vérité "FALSE"

Ce qui suit n'est pas une proposition -

• "A is less than 2" - C'est parce qu'à moins de donner une valeur spécifique de A, nous ne pouvons pas dire si l'énoncé est vrai ou faux.

Connectifs

En logique propositionnelle, nous utilisons les cinq connecteurs suivants -

• OU (∨∨)
• ET (∧∧)
• Négation / NON (¬¬)
• Implication / si-alors (→→)
• Si et seulement si (⇔⇔)

OU (∨∨)

L'opération OU de deux propositions A et B (écrites comme A∨BA∨B) est vraie si au moins l'une des variables propositionnelles A ou B est vraie.

La table de vérité est la suivante -

UNE	B	A ∨ B
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Vrai
Faux	Vrai	Vrai
Faux	Faux	Faux

ET (∧∧)

L'opération ET de deux propositions A et B (écrites comme A∧BA∧B) est vraie si les deux variables propositionnelles A et B sont vraies.

La table de vérité est la suivante -

UNE	B	A ∧ B
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Faux

Négation (¬¬)

La négation d'une proposition A (écrite comme ¬A¬A) est fausse quand A est vraie et est vraie quand A est fausse.

La table de vérité est la suivante -

UNE	¬A
Vrai	Faux
Faux	Vrai

Implication / si-alors (→→)

Une implication A → BA → B est la proposition «si A, alors B». Il est faux si A est vrai et B est faux. Les autres cas sont vrais.

La table de vérité est la suivante -

UNE	B	A → B
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Vrai
Faux	Faux	Vrai

Si et seulement si (⇔⇔)

A⇔BA⇔B est un connecteur logique bi-conditionnel qui est vrai lorsque p et q sont identiques, c'est-à-dire que les deux sont faux ou les deux sont vrais.

La table de vérité est la suivante -

UNE	B	A⇔B
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Vrai

Formule bien formée

Well Formed Formula (wff) est un prédicat contenant l'un des éléments suivants -

• Toutes les constantes propositionnelles et variables propositionnelles sont des wffs.
• Si x est une variable et Y est un wff, ∀xY et ∃xY sont également wff.
• La valeur de vérité et les valeurs fausses sont des wffs.
• Chaque formule atomique est un wff.
• Tous les connecteurs connectant des wffs sont des wff.

Quantificateurs

La variable des prédicats est quantifiée par des quantificateurs. Il existe deux types de quantificateurs dans la logique des prédicats -

• Quantificateur universel
• Quantificateur existentiel

Quantificateur universel

Le quantificateur universel indique que les déclarations dans sa portée sont vraies pour chaque valeur de la variable spécifique. Il est désigné par le symbole ∀.

∀xP(x) est lu comme pour chaque valeur de x, P (x) est vrai.

Example- «L'homme est mortel» peut être transformé en la forme propositionnelle ∀xP (x). Ici, P (x) est le prédicat qui dénote que x est mortel et que l'univers du discours est tout homme.

Quantificateur existentiel

Le quantificateur existentiel indique que les déclarations dans sa portée sont vraies pour certaines valeurs de la variable spécifique. Il est désigné par le symbole ∃.

∃xP(x) pour certaines valeurs de x est lu comme, P (x) est vrai.

Example - "Certaines personnes sont malhonnêtes" peut se transformer en la forme propositionnelle ∃x P (x) où P (x) est le prédicat qui dénote x est malhonnête et l'univers du discours est quelques personnes.

Quantificateurs imbriqués

Si nous utilisons un quantificateur qui apparaît dans le cadre d'un autre quantificateur, on l'appelle un quantificateur imbriqué.

Example

• ∀ a∃bP (x, y) où P (a, b) désigne a + b = 0
• ∀ a∀b∀cP (a, b, c) où P (a, b) désigne a + (b + c) = (a + b) + c

Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)

Voici les différents modes de raisonnement approximatif -

Raisonnement catégorique

Dans ce mode de raisonnement approximatif, les antécédents, ne contenant pas de quantificateurs flous et de probabilités floues, sont supposés être sous forme canonique.

Raisonnement qualitatif

Dans ce mode de raisonnement approximatif, les antécédents et les conséquents ont des variables linguistiques floues; la relation entrée-sortie d'un système est exprimée comme une collection de règles IF-THEN floues. Ce raisonnement est principalement utilisé dans l'analyse du système de contrôle.

Raisonnement syllogistique

Dans ce mode de raisonnement par approximation, les antécédents à quantificateurs flous sont liés à des règles d'inférence. Ceci est exprimé comme -

x = S _{1 Les} A sont des B

y = S ₂ C sont des D

------------------------

z = S ₃ E sont des F

Ici, A, B, C, D, E, F sont des prédicats flous.

• S ₁ et S ₂ reçoivent des quantificateurs flous.

• S ₃ est le quantificateur flou qui doit être décidé.

Raisonnement dispositionnel

Dans ce mode de raisonnement d'approximation, les antécédents sont des dispositions qui peuvent contenir le quantificateur flou «habituellement». Le quantificateurUsuallyrelie le raisonnement dispositionnel et syllogistique; par conséquent, il joue un rôle important.

Par exemple, la règle de projection de l'inférence dans le raisonnement dispositionnel peut être donnée comme suit -

habituellement ((L, M) est R) ⇒ habituellement (L est [R ↓ L])

Ici [R ↓ L] est la projection d'une relation floue R sur L

Base de règles de logique floue

C'est un fait connu qu'un être humain est toujours à l'aise pour faire des conversations en langage naturel. La représentation de la connaissance humaine peut être faite à l'aide de l'expression du langage naturel suivant -

IF antécédent THEN conséquent

L'expression comme indiqué ci-dessus est appelée base de règles Fuzzy IF-THEN.

Forme canonique

Voici la forme canonique de la base de règles de logique floue -

Rule 1 - Si condition C1, alors restriction R1

Rule 2 - Si condition C1, alors restriction R2

.

.

.

Rule n - Si condition C1, alors restriction Rn

Interprétations des règles floues IF-THEN

Les règles floues IF-THEN peuvent être interprétées sous les quatre formes suivantes -

Déclarations d'affectation

Ces types d'énoncés utilisent «=» (égal au signe) aux fins de l'affectation. Ils sont de la forme suivante -

a = bonjour

climat = été

Expressions conditionnelles

Ces types d'instructions utilisent le formulaire de base de règles «IF-THEN» à des fins de condition. Ils sont de la forme suivante -

SI la température est élevée ALORS le climat est chaud

SI la nourriture est fraîche ALORS mangez.

Déclarations inconditionnelles

Ils sont de la forme suivante -

GOTO 10

éteindre le ventilateur

Variable linguistique

Nous avons étudié que la logique floue utilise des variables linguistiques qui sont des mots ou des phrases dans une langue naturelle. Par exemple, si nous disons température, c'est une variable linguistique; dont les valeurs sont très chaud ou froid, légèrement chaud ou froid, très chaud, légèrement chaud, etc. Les mots très, légèrement sont les haies linguistiques.

Caractérisation de la variable linguistique

Après quatre termes caractérisent la variable linguistique -

• Nom de la variable, généralement représenté par x.
• Ensemble de termes de la variable, généralement représenté par t (x).
• Règles syntaxiques pour générer les valeurs de la variable x.
• Règles sémantiques pour relier chaque valeur de x et sa signification.

Propositions en logique floue

Comme nous savons que les propositions sont des phrases exprimées dans n'importe quelle langue qui sont généralement exprimées sous la forme canonique suivante -

s comme P

Ici, s est le sujet et P est le prédicat.

Par exemple, « Delhi est la capitale de l'Inde », il s'agit d'une proposition où « Delhi » est le sujet et « est la capitale de l'Inde » est le prédicat qui montre la propriété du sujet.

Nous savons que la logique est la base du raisonnement et que la logique floue étend la capacité de raisonnement en utilisant des prédicats flous, des modificateurs de prédicat flou, des quantificateurs flous et des qualificatifs flous dans des propositions floues, ce qui crée la différence avec la logique classique.

Les propositions en logique floue comprennent les suivantes -

Prédicat flou

Presque tous les prédicats du langage naturel sont de nature floue, par conséquent, la logique floue a les prédicats tels que grand, court, chaud, chaud, rapide, etc.

Modificateurs à prédicat flou

Nous avons discuté des haies linguistiques ci-dessus; nous avons également de nombreux modificateurs de prédicat flou qui agissent comme des couvertures. Ils sont très essentiels pour produire les valeurs d'une variable linguistique. Par exemple, les mots très, légèrement sont des modificateurs et les propositions peuvent être comme «l' eau est légèrement chaude ».

Quantificateurs flous

Il peut être défini comme un nombre flou qui donne une classification vague de la cardinalité d'un ou plusieurs ensembles flous ou non flous. Il peut être utilisé pour influencer la probabilité dans la logique floue. Par exemple, les mots souvent, le plus souvent, sont utilisés comme quantificateurs flous et les propositions peuvent être comme «la plupart des gens y sont allergiques ».

Qualificatifs flous

Comprenons maintenant les qualificatifs flous. Un qualificatif flou est également une proposition de logique floue. La qualification floue a les formes suivantes -

Qualification floue basée sur la vérité

Il revendique le degré de vérité d'une proposition floue.

Expression- Il est exprimé comme x est t . Ici, t est une valeur de vérité floue.

Example - (La voiture est noire) n'est PAS TRÈS vrai.

Qualification floue basée sur la probabilité

Il revendique la probabilité, numérique ou intervalle, de proposition floue.

Expression- Il est exprimé comme x est λ . Ici, λ est une probabilité floue.

Example - (La voiture est noire) est probable.

Qualification floue basée sur la possibilité

Il revendique la possibilité d'une proposition floue.

Expression- Il est exprimé comme x est π . Ici, π est une possibilité floue.

Example - (La voiture est noire) est presque impossible.

Le système d'inférence floue est l'unité clé d'un système de logique floue ayant la prise de décision comme travail principal. Il utilise les règles «SI… PUIS» ainsi que les connecteurs «OU» ou «ET» pour dessiner les règles de décision essentielles.

Caractéristiques du système d'inférence floue

Voici quelques caractéristiques du FIS -

• La sortie de FIS est toujours un ensemble flou quelle que soit son entrée qui peut être floue ou nette.

• Il est nécessaire d'avoir une sortie floue lorsqu'il est utilisé comme contrôleur.

• Une unité de défuzzification serait là avec FIS pour convertir les variables floues en variables nettes.

Blocs fonctionnels du FIS

Les cinq blocs fonctionnels suivants vous aideront à comprendre la construction du FIS -

• Rule Base - Il contient des règles IF-THEN floues.

• Database - Il définit les fonctions d'appartenance des ensembles flous utilisés dans les règles floues.

• Decision-making Unit - Il effectue des opérations sur les règles.

• Fuzzification Interface Unit - Il convertit les quantités nettes en quantités floues.

• Defuzzification Interface Unit- Il convertit les quantités floues en quantités croquantes. Voici un schéma de principe du système d'interférence floue.

Fonctionnement du FIS

Le fonctionnement du FIS comprend les étapes suivantes -

• Une unité de fuzzification prend en charge l'application de nombreuses méthodes de fuzzification et convertit l'entrée nette en entrée floue.

• Une base de connaissances - une collection de base de règles et de base de données est formée lors de la conversion d'une entrée nette en une entrée floue.

• L'entrée floue de l'unité de défuzzification est finalement convertie en sortie nette.

Méthodes de FIS

Parlons maintenant des différentes méthodes de FIS. Voici les deux méthodes importantes de FIS, ayant des conséquences différentes de règles floues -

• Système d'inférence floue Mamdani
• Modèle flou Takagi-Sugeno (méthode TS)

Système d'inférence floue Mamdani

Ce système a été proposé en 1975 par Ebhasim Mamdani. Fondamentalement, il était prévu de contrôler une combinaison de machine à vapeur et de chaudière en synthétisant un ensemble de règles floues obtenues des personnes travaillant sur le système.

Étapes de calcul de la sortie

Les étapes suivantes doivent être suivies pour calculer la sortie de ce FIS -

• Step 1 - Un ensemble de règles floues doit être déterminé à cette étape.

• Step 2 - Dans cette étape, en utilisant la fonction d'appartenance d'entrée, l'entrée serait rendue floue.

• Step 3 - Établissez maintenant la force de la règle en combinant les entrées floues selon des règles floues.

• Step 4 - Dans cette étape, déterminez le conséquent de la règle en combinant la force de la règle et la fonction d'appartenance en sortie.

• Step 5 - Pour obtenir la distribution de sortie, combinez tous les conséquents.

• Step 6 - Enfin, une distribution de sortie défuzzifiée est obtenue.

Voici un schéma de principe du système d'interface floue Mamdani.

Modèle flou Takagi-Sugeno (méthode TS)

Ce modèle a été proposé par Takagi, Sugeno et Kang en 1985. Le format de cette règle est donné comme -

SI x est A et y est B ALORS Z = f (x, y)

Ici, AB sont des ensembles flous dans les antécédents et z = f (x, y) est une fonction nette dans le conséquent.

Processus d'inférence floue

Le processus d'inférence floue sous le modèle flou Takagi-Sugeno (méthode TS) fonctionne de la manière suivante -

• Step 1: Fuzzifying the inputs - Ici, les entrées du système sont rendues floues.

• Step 2: Applying the fuzzy operator - Dans cette étape, les opérateurs flous doivent être appliqués pour obtenir la sortie.

Format de règle du formulaire Sugeno

Le format de règle de la forme Sugeno est donné par -

si 7 = x et 9 = y alors la sortie est z = ax + by + c

Comparaison entre les deux méthodes

Comprenons maintenant la comparaison entre le système Mamdani et le modèle Sugeno.

• Output Membership Function- La principale différence entre eux réside dans la fonction d'appartenance en sortie. Les fonctions d'appartenance de sortie Sugeno sont linéaires ou constantes.

• Aggregation and Defuzzification Procedure - La différence entre eux réside également dans la conséquence des règles floues et en raison de la même chose, leur procédure d'agrégation et de défuzzification diffère également.

• Mathematical Rules - Il existe plus de règles mathématiques pour la règle Sugeno que pour la règle Mamdani.

• Adjustable Parameters - Le contrôleur Sugeno a plus de paramètres réglables que le contrôleur Mamdani.

Nous avons étudié dans nos chapitres précédents que la logique floue est une approche du calcul basée sur des «degrés de vérité» plutôt que sur la logique habituelle «vrai ou faux». Il traite d'un raisonnement approximatif plutôt que précis pour résoudre des problèmes d'une manière qui ressemble davantage à la logique humaine, par conséquent, le processus d'interrogation de la base de données par la réalisation à deux valeurs de l'algèbre booléenne n'est pas adéquat.

Scénario flou des relations sur les bases de données

Le scénario flou des relations sur les bases de données peut être compris à l'aide de l'exemple suivant -

Exemple

Supposons que nous ayons une base de données contenant les enregistrements des personnes qui ont visité l'Inde. Dans une base de données simple, nous aurons les entrées faites de la manière suivante -

Nom	Âge	Citoyen	Pays visité	Jours passés	Année de visite
John Smith	35	NOUS	Inde	41	1999
John Smith	35	NOUS	Italie	72	1999
John Smith	35	NOUS	Japon	31	1999

Maintenant, si quelqu'un pose des questions sur la personne qui a visité l'Inde et le Japon en l'an 99 et qui est citoyen des États-Unis, la sortie affichera deux entrées portant le nom de John Smith. Il s'agit d'une requête simple générant une sortie simple.

Mais que se passe-t-il si nous voulons savoir si la personne dans la requête ci-dessus est jeune ou non. Selon le résultat ci-dessus, l'âge de la personne est de 35 ans. Mais pouvons-nous supposer que la personne est jeune ou non? De même, la même chose peut s'appliquer aux autres domaines comme les jours passés, l'année de visite, etc.

La solution des problèmes ci-dessus peut être trouvée à l'aide des ensembles de valeurs floues comme suit -

• FV (Age) {très jeune, jeune, un peu vieux, vieux}

• FV (Days Spent) {à peine quelques jours, quelques jours, pas mal de jours, plusieurs jours}

• FV (Année de visite) {passé lointain, passé récent, récent}

• Maintenant, si une requête aura la valeur floue, le résultat sera également de nature floue.

Système de requête floue

Un système de requête floue est une interface permettant aux utilisateurs d'obtenir des informations de la base de données en utilisant des phrases en langage (quasi) naturel. De nombreuses implémentations de requêtes floues ont été proposées, résultant en des langages légèrement différents. Bien qu'il existe quelques variations selon les particularités des différentes implémentations, la réponse à une phrase de requête floue est généralement une liste d'enregistrements, classés par degré de correspondance.

Dans la modélisation des énoncés en langage naturel, les énoncés quantifiés jouent un rôle important. Cela signifie que NL dépend fortement de la construction de quantification qui inclut souvent des concepts flous comme «presque tous», «beaucoup», etc. Voici quelques exemples de propositions de quantification -

• Chaque étudiant a réussi l'examen.
• Chaque voiture de sport coûte cher.
• De nombreux étudiants ont réussi l'examen.
• De nombreuses voitures de sport sont chères.

Dans les exemples ci-dessus, les quantificateurs «Tous» et «Beaucoup» sont appliqués aux restrictions nettes «étudiants» ainsi qu'à la portée nette «(personne qui) a réussi l'examen» et aux «voitures» ainsi qu'aux «sports» à portée nette.

Evénements flous, moyennes floues et écarts flous

À l'aide d'un exemple, nous pouvons comprendre les concepts ci-dessus. Supposons que nous soyons actionnaire d'une société nommée ABC. Et à l'heure actuelle, la société vend chacune de ses actions pour 40 ₹. Il existe trois sociétés différentes dont l'activité est similaire à ABC, mais elles offrent leurs actions à des taux différents - 100 ₹ par action, 85 ₹ par action et 60 ₹ par action respectivement.

Maintenant, la distribution de probabilité de cette prise de contrôle de prix est la suivante -

Prix	100 ₹	85 ₹	60 ₹
Probabilité	0,3	0,5	0,2

Maintenant, à partir de la théorie des probabilités standard, la distribution ci-dessus donne une moyenne du prix attendu comme ci-dessous -

100 $ × 0,3 + 85 × 0,5 + 60 × 0,2 = 84,5 $

Et, à partir de la théorie des probabilités standard, la distribution ci-dessus donne une variance du prix attendu comme ci-dessous -

$ (100 - 84,5) 2 × 0,3 + (85 - 84,5) 2 × 0,5 + (60 - 84,5) 2 × 0,2 = 124,825 $

Supposons que le degré d'appartenance de 100 dans cet ensemble est de 0,7, celui de 85 est de 1 et le degré d'appartenance de 0,5 pour la valeur 60. Ceux-ci peuvent être reflétés dans l'ensemble flou suivant -

$$ \ left \ {\ frac {0.7} {100}, \: \ frac {1} {85}, \: \ frac {0.5} {60}, \ right \} $$

L'ensemble flou obtenu de cette manière est appelé un événement flou.

Nous voulons la probabilité de l'événement flou pour lequel notre calcul donne -

0,7 $ × 0,3 + 1 × 0,5 + 0,5 × 0,2 = 0,21 + 0,5 + 0,1 = 0,81 $

Maintenant, nous devons calculer la moyenne floue et la variance floue, le calcul est le suivant -

Fuzzy_mean $ = \ gauche (\ frac {1} {0,81} \ droite) × (100 × 0,7 × 0,3 + 85 × 1 × 0,5 + 60 × 0,5 × 0,2) $

$ = 85,8 $

Fuzzy_Variance $ = 7496,91 - 7361,91 = 135,27 $

C'est une activité qui comprend les étapes à suivre pour choisir une alternative appropriée parmi celles qui sont nécessaires pour atteindre un certain objectif.

Étapes de la prise de décision

Parlons maintenant des étapes impliquées dans le processus de prise de décision -

• Determining the Set of Alternatives - Dans cette étape, les alternatives à partir desquelles la décision doit être prise doivent être déterminées.

• Evaluating Alternative - Ici, les alternatives doivent être évaluées afin que la décision puisse être prise sur l'une des alternatives.

• Comparison between Alternatives - Dans cette étape, une comparaison entre les alternatives évaluées est effectuée.

Types de décision

Prise de décision Nous allons maintenant comprendre les différents types de prise de décision.

Prise de décision individuelle

Dans ce type de prise de décision, une seule personne est responsable de la prise de décision. Le modèle de prise de décision de ce type peut être caractérisé comme -

• Ensemble d'actions possibles

• Ensemble d'objectifs $ G_i \ left (i \: \ in \: X_n \ right); $

• Ensemble de contraintes $ C_j \ left (j \: \ in \: X_m \ right) $

Les buts et contraintes énoncés ci-dessus sont exprimés en termes d'ensembles flous.

Considérons maintenant un ensemble A. Ensuite, le but et les contraintes de cet ensemble sont donnés par -

$ G_i \ left (a \ right) $ = composition $ \ left [G_i \ left (a \ right) \ right] $ = $ G_i ^ 1 \ left (G_i \ left (a \ right) \ right) $ avec $ G_i ^ 1 $

$ C_j \ left (a \ right) $ = composition $ \ left [C_j \ left (a \ right) \ right] $ = $ C_j ^ 1 \ left (C_j \ left (a \ right) \ right) $ avec $ C_j ^ 1 $ pour $ a \: \ in \: A $

La décision floue dans le cas ci-dessus est donnée par -

$$ F_D = min [i \ in X_ {n} ^ {in} fG_i \ left (a \ right), j \ in X_ {m} ^ {in} fC_j \ left (a \ right)] $$

Prise de décision à plusieurs personnes

La prise de décision dans ce cas comprend plusieurs personnes afin que les connaissances expertes de diverses personnes soient utilisées pour prendre des décisions.

Le calcul pour cela peut être donné comme suit -

Number of persons preferring $x_i$ to $x_j$ = $ N \ gauche (x_i, \: x_j \ droite) $

Total number of decision makers = $ n $

Ensuite, $ SC \ left (x_i, \: x_j \ right) = \ frac {N \ left (x_i, \: x_j \ right)} {n} $

Prise de décision multi-objectifs

La prise de décision multi-objectifs se produit lorsqu'il y a plusieurs objectifs à atteindre. Il y a deux problèmes suivants dans ce type de prise de décision -

• Acquérir des informations appropriées relatives à la satisfaction des objectifs par diverses alternatives.

• Peser l'importance relative de chaque objectif.

Mathématiquement, nous pouvons définir un univers de n alternatives comme -

$ A = \ left [a_1, \: a_2, \: ..., \: a_i, \: ..., \: a_n \ right] $

Et l'ensemble des objectifs «m» comme $ O = \ left [o_1, \: o_2, \: ..., \: o_i, \: ..., \: o_n \ right] $

Prise de décision multi-attributs

La prise de décision multi-attributs a lieu lorsque l'évaluation d'alternatives peut être effectuée sur la base de plusieurs attributs de l'objet. Les attributs peuvent être des données numériques, des données linguistiques et des données qualitatives.

Mathématiquement, l'évaluation multi-attributs est effectuée sur la base de l'équation linéaire comme suit -

$$ Y = A_1X_1 + A_2X_2 + ... + A_iX_i + ... + A_rX_r $$

La logique floue est appliquée avec grand succès dans diverses applications de contrôle. Presque tous les produits de consommation ont un contrôle flou. Certains des exemples incluent le contrôle de la température de votre pièce à l'aide du climatiseur, du système anti-freinage utilisé dans les véhicules, du contrôle des feux de signalisation, des machines à laver, de grands systèmes économiques, etc.

Pourquoi utiliser la logique floue dans les systèmes de contrôle

Un système de commande est un agencement de composants physiques conçu pour modifier un autre système physique afin que ce système présente certaines caractéristiques souhaitées. Voici quelques raisons d'utiliser la logique floue dans les systèmes de contrôle -

• Tout en appliquant le contrôle traditionnel, il faut connaître le modèle et la fonction objectif formulés en termes précis. Cela rend l'application très difficile dans de nombreux cas.

• En appliquant la logique floue pour le contrôle, nous pouvons utiliser l'expertise et l'expérience humaines pour concevoir un contrôleur.

• Les règles de contrôle flou, essentiellement les règles IF-THEN, peuvent être mieux utilisées dans la conception d'un contrôleur.

Hypothèses dans la conception Fuzzy Logic Control (FLC)

Lors de la conception d'un système de contrôle flou, les six hypothèses de base suivantes doivent être formulées:

• The plant is observable and controllable - Il faut supposer que les variables d'entrée, de sortie et d'état sont disponibles à des fins d'observation et de contrôle.

• Existence of a knowledge body - Il faut supposer qu'il existe un corps de connaissances ayant des règles linguistiques et un ensemble de données d'entrée-sortie à partir desquelles des règles peuvent être extraites.

• Existence of solution - Il faut supposer qu'il existe une solution.

• ‘Good enough’ solution is enough - L'ingénierie de contrôle doit rechercher une solution «assez bonne» plutôt qu'une solution optimale.

• Range of precision - Le contrôleur à logique floue doit être conçu dans une plage de précision acceptable.

• Issues regarding stability and optimality - Les problèmes de stabilité et d'optimalité doivent être ouverts lors de la conception d'un contrôleur à logique floue plutôt que d'être abordés explicitement.

Architecture du contrôle de logique floue

Le diagramme suivant montre l'architecture de Fuzzy Logic Control (FLC).

Principaux composants de FLC

Les éléments suivants sont les principaux composants du FLC, comme indiqué dans la figure ci-dessus -

• Fuzzifier - Le rôle du fuzzifier est de convertir les valeurs d'entrée nettes en valeurs floues.

• Fuzzy Knowledge Base- Il stocke les connaissances sur toutes les relations floues entrée-sortie. Il a également la fonction d'appartenance qui définit les variables d'entrée de la base de règles floue et les variables de sortie de l'installation sous contrôle.

• Fuzzy Rule Base - Il stocke les connaissances sur le fonctionnement du processus de domaine.

• Inference Engine- Il agit comme un noyau de n'importe quel FLC. Fondamentalement, il simule des décisions humaines en effectuant un raisonnement approximatif.

• Defuzzifier - Le rôle du defuzzifier est de convertir les valeurs floues en valeurs nettes provenant du moteur d'inférence floue.

Étapes de la conception du FLC

Voici les étapes impliquées dans la conception de FLC -

• Identification of variables - Ici, les variables d'entrée, de sortie et d'état doivent être identifiées de l'installation considérée.

• Fuzzy subset configuration- L'univers de l'information est divisé en nombre de sous-ensembles flous et chaque sous-ensemble se voit attribuer une étiquette linguistique. Assurez-vous toujours que ces sous-ensembles flous incluent tous les éléments de l'univers.

• Obtaining membership function - Maintenant, obtenez la fonction d'appartenance pour chaque sous-ensemble flou que nous obtenons à l'étape ci-dessus.

• Fuzzy rule base configuration - Formulez maintenant la base de règles floue en attribuant une relation entre l'entrée et la sortie floues.

• Fuzzification - Le processus de fuzzification est lancé dans cette étape.

• Combining fuzzy outputs - En appliquant un raisonnement approximatif flou, localisez la sortie floue et fusionnez-les.

• Defuzzification - Enfin, lancez le processus de défuzzification pour former une sortie nette.

Avantages du contrôle de logique floue

Voyons maintenant les avantages du contrôle de logique floue.

• Cheaper - Développer un FLC est comparativement moins cher que développer un contrôleur basé sur un modèle ou autre en termes de performances.

• Robust - Les FLC sont plus robustes que les contrôleurs PID en raison de leur capacité à couvrir une vaste gamme de conditions de fonctionnement.

• Customizable - Les FLC sont personnalisables.

• Emulate human deductive thinking - Fondamentalement, FLC est conçu pour imiter la pensée déductive humaine, le processus que les gens utilisent pour déduire des conclusions à partir de ce qu'ils savent.

• Reliability - Le FLC est plus fiable que le système de contrôle conventionnel.

• Efficiency - La logique floue offre plus d'efficacité lorsqu'elle est appliquée dans le système de contrôle.

Inconvénients du contrôle de logique floue

Nous allons maintenant discuter des inconvénients de Fuzzy Logic Control.

• Requires lots of data - FLC a besoin de beaucoup de données pour être appliqué.

• Useful in case of moderate historical data - FLC n'est pas utile pour les programmes beaucoup plus petits ou plus grands que les données historiques.

• Needs high human expertise - C'est un inconvénient car la précision du système dépend des connaissances et de l'expertise des êtres humains.

• Needs regular updating of rules - Les règles doivent être mises à jour avec le temps.

Dans ce chapitre, nous discuterons de ce qu'est un contrôleur flou adaptatif et de son fonctionnement. Adaptive Fuzzy Controller est conçu avec des paramètres réglables ainsi qu'un mécanisme intégré pour les ajuster. Un contrôleur adaptatif a été utilisé pour améliorer les performances du contrôleur.

Étapes de base pour la mise en œuvre de l'algorithme adaptatif

Voyons maintenant les étapes de base pour la mise en œuvre de l'algorithme adaptatif.

• Collection of observable data - Les données observables sont collectées pour calculer les performances du responsable du traitement.

• Adjustment of controller parameters - Maintenant, avec l'aide des performances du contrôleur, le calcul de l'ajustement des paramètres du contrôleur serait effectué.

• Improvement in performance of controller - Dans cette étape, les paramètres du contrôleur sont ajustés pour améliorer les performances du contrôleur.

Concepts opérationnels

La conception d'un contrôleur est basée sur un modèle mathématique supposé qui ressemble à un système réel. L'erreur entre le système réel et sa représentation mathématique est calculée et si elle est relativement insignifiante, le modèle est supposé fonctionner efficacement.

Une constante de seuil qui définit une limite pour l'efficacité d'un contrôleur existe également. L'entrée de commande est introduite à la fois dans le système réel et dans le modèle mathématique. Ici, supposons que $ x \ left (t \ right) $ est la sortie du système réel et $ y \ left (t \ right) $ est la sortie du modèle mathématique. Ensuite, l'erreur $ \ epsilon \ left (t \ right) $ peut être calculée comme suit -

$$ \ epsilon \ left (t \ right) = x \ left (t \ right) - y \ left (t \ right) $$

Ici, $ x $ désiré est la sortie que nous voulons du système et $ \ mu \ left (t \ right) $ est la sortie provenant du contrôleur et allant à la fois vers le modèle réel et mathématique.

Le diagramme suivant montre comment la fonction d'erreur est suivie entre la sortie d'un système réel et le modèle mathématique -

Paramétrage du système

Un contrôleur flou dont la conception est basée sur le modèle mathématique flou aura la forme suivante de règles floues -

Rule 1 - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {11} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {1i} $

THEN $ \ mu _1 \ left (t_n \ right) = K_ {11} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {12} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {1i } x_i \ gauche (t_n \ droite) $

Rule 2 - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {21} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {2i} $

THEN $ \ mu _2 \ left (t_n \ right) = K_ {21} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {22} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {2i } x_i \ gauche (t_n \ droite) $

.

.

.

Rule j - IF $ x_1 \ left (t_n \ right) \ in X_ {k1} \: AND ... AND \: x_i \ left (t_n \ right) \ in X_ {ki} $

THEN $ \ mu _j \ left (t_n \ right) = K_ {j1} x_1 \ left (t_n \ right) + K_ {j2} x_2 \ left (t_n \ right) \: + ... + \: K_ {ji } x_i \ gauche (t_n \ droite) $

L'ensemble de paramètres ci-dessus caractérise le contrôleur.

Réglage du mécanisme

Les paramètres du contrôleur sont ajustés pour améliorer les performances du contrôleur. Le processus de calcul de l'ajustement aux paramètres est le mécanisme d'ajustement.

Mathématiquement, soit $ \ theta ^ \ left (n \ right) $ un ensemble de paramètres à ajuster au temps $ t = t_n $. L'ajustement peut être le recalcul des paramètres,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ Theta \ left (D_0, \: D_1, \: ..., \: D_n \ right) $$

Ici $ D_n $ sont les données collectées au temps $ t = t_n $.

Maintenant, cette formulation est reformulée par la mise à jour du jeu de paramètres en fonction de sa valeur précédente comme,

$$ \ theta ^ \ left (n \ right) = \ phi (\ theta ^ {n-1}, \: D_n) $$

Paramètres de sélection d'un contrôleur flou adaptatif

Les paramètres suivants doivent être pris en compte pour sélectionner un contrôleur flou adaptatif -

• Le système peut-il être approché entièrement par un modèle flou?

• Si un système peut être approché entièrement par un modèle flou, les paramètres de ce modèle flou sont-ils facilement disponibles ou doivent-ils être déterminés en ligne?

• Si un système ne peut pas être approché entièrement par un modèle flou, peut-il être approché par morceaux par un ensemble de modèles flous?

• Si un système peut être approché par un ensemble de modèles flous, ces modèles ont-ils le même format avec des paramètres différents ou ont-ils des formats différents?

• Si un système peut être approximé par un ensemble de modèles flous ayant le même format, chacun avec un ensemble différent de paramètres, ces ensembles de paramètres sont-ils facilement disponibles ou doivent-ils être déterminés en ligne?

Le réseau de neurones artificiels (ANN) est un réseau de systèmes de calcul efficaces dont le thème central est emprunté à l'analogie des réseaux de neurones biologiques. Les ANN sont également appelés «systèmes neuronaux artificiels», «systèmes de traitement distribués parallèles», «systèmes connexionnistes». ANN acquiert une grande collection d'unités qui sont interconnectées selon un certain modèle pour permettre les communications entre les unités. Ces unités, également appelées nœuds ou neurones, sont de simples processeurs qui fonctionnent en parallèle.

Chaque neurone est connecté à un autre neurone via un lien de connexion. Chaque lien de connexion est associé à un poids contenant les informations sur le signal d'entrée. Il s'agit de l'information la plus utile pour les neurones pour résoudre un problème particulier car le poids inhibe généralement le signal qui est communiqué. Chaque neurone a son état interne qui est appelé le signal d'activation. Les signaux de sortie, qui sont produits après la combinaison des signaux d'entrée et de la règle d'activation, peuvent être envoyés à d'autres unités. Il se compose également d'un biais «b» dont le poids est toujours 1.

Pourquoi utiliser la logique floue dans un réseau neuronal

Comme nous l'avons vu ci-dessus, chaque neurone dans ANN est connecté à un autre neurone via un lien de connexion et ce lien est associé à un poids contenant les informations sur le signal d'entrée. Par conséquent, nous pouvons dire que les poids ont les informations utiles sur les entrées pour résoudre les problèmes.

Voici quelques raisons d'utiliser la logique floue dans les réseaux de neurones -

• La logique floue est largement utilisée pour définir les poids, à partir d'ensembles flous, dans les réseaux de neurones.

• Lorsqu'il n'est pas possible d'appliquer des valeurs nettes, des valeurs floues sont utilisées.

• Nous avons déjà étudié que la formation et l'apprentissage aident les réseaux de neurones à mieux fonctionner dans des situations inattendues. À ce moment-là, les valeurs floues seraient plus applicables que les valeurs nettes.

• Lorsque nous utilisons la logique floue dans les réseaux de neurones, les valeurs ne doivent pas être nettes et le traitement peut être effectué en parallèle.

Carte cognitive floue

C'est une forme de flou dans les réseaux de neurones. Fondamentalement, FCM est comme une machine à états dynamique avec des états flous (pas seulement 1 ou 0).

Difficulté à utiliser la logique floue dans les réseaux de neurones

Malgré de nombreux avantages, il existe également des difficultés lors de l'utilisation de la logique floue dans les réseaux de neurones. La difficulté est liée aux règles d'appartenance, à la nécessité de construire un système flou, car il est parfois compliqué de le déduire avec l'ensemble donné de données complexes.

Logique floue neuronale

La relation inverse entre le réseau neuronal et la logique floue, c'est-à-dire le réseau neuronal utilisé pour entraîner la logique floue, est également un bon domaine d'étude. Voici deux raisons majeures pour construire une logique floue neuro-entraînée -

• De nouveaux modèles de données peuvent être appris facilement à l'aide de réseaux de neurones, par conséquent, ils peuvent être utilisés pour prétraiter les données dans des systèmes flous.

• Le réseau neuronal, en raison de sa capacité à apprendre de nouvelles relations avec de nouvelles données d'entrée, peut être utilisé pour affiner des règles floues afin de créer un système adaptatif flou.

Exemples de système flou à entraînement neuronal

Les systèmes flous neuronaux sont utilisés dans de nombreuses applications commerciales. Voyons maintenant quelques exemples d'application du système Fuzzy Neural-Trained -

• Le Laboratoire de recherche internationale sur l'ingénierie floue (LIFE) à Yokohama, au Japon, dispose d'un réseau neuronal à rétro-propagation qui dérive des règles floues. Ce système a été appliqué avec succès au système de commerce des devises avec environ 5 000 règles floues.

• Ford Motor Company a développé des systèmes flous pouvant être entraînés pour le contrôle du ralenti automobile.

• NeuFuz, produit logiciel de National Semiconductor Corporation, prend en charge la génération de règles floues avec un réseau neuronal pour les applications de contrôle.

• AEG Corporation of Germany utilise un système de contrôle flou à entraînement neuronal pour sa machine d'économie d'eau et d'énergie. Il a un total de 157 règles floues.

Dans ce chapitre, nous aborderons les domaines dans lesquels les concepts de Fuzzy Logic sont largement appliqués.

Aérospatial

En aérospatiale, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Contrôle de l'altitude des engins spatiaux
• Contrôle d'altitude par satellite
• Régulation du débit et du mélange dans les véhicules de dégivrage des avions

Automobile

Dans l'automobile, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Systèmes flous formables pour le contrôle du ralenti
• Méthode de programmation des équipes pour la transmission automatique
• Systèmes autoroutiers intelligents
• Contrôle de la circulation
• Amélioration de l'efficacité des transmissions automatiques

Affaires

En entreprise, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Systèmes d'aide à la décision
• Évaluation du personnel dans une grande entreprise

La défense

En défense, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Reconnaissance des cibles sous-marines
• Reconnaissance automatique de la cible des images infrarouges thermiques
• Aide à la décision navale
• Contrôle d'un intercepteur hypervélocité
• Modélisation d'ensemble floue de la prise de décision de l'OTAN

Électronique

En électronique, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Contrôle de l'exposition automatique dans les caméras vidéo
• Humidité dans une salle blanche
• Systèmes de climatisation
• Chronométrage de la machine à laver
• Four à micro-ondes
• Aspirateurs

La finance

Dans le domaine de la finance, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Contrôle des transferts de billets
• Gestion de fonds
• Prévisions boursières

Secteur industriel

Dans l'industrie, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Contrôle du four à ciment Contrôle de l'échangeur de chaleur
• Contrôle du processus de traitement des eaux usées des boues activées
• Contrôle des stations d'épuration d'eau
• Analyse quantitative des modèles pour l'assurance qualité industrielle
• Contrôle des problèmes de satisfaction des contraintes dans la conception structurelle
• Contrôle des stations d'épuration d'eau

Fabrication

Dans l'industrie manufacturière, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Optimisation de la production de fromage
• Optimisation de la production laitière

Marin

Dans le domaine marin, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Pilote automatique pour navires
• Sélection d'itinéraire optimale
• Contrôle des véhicules sous-marins autonomes
• Pilotage de navire

Médical

Dans le domaine médical, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Système d'aide au diagnostic médical
• Contrôle de la pression artérielle pendant l'anesthésie
• Contrôle multivarié de l'anesthésie
• Modélisation des découvertes neuropathologiques chez les patients atteints de la maladie d'Alzheimer
• Diagnostics radiologiques
• Diagnostic par inférence floue du diabète et du cancer de la prostate

Titres

Dans les titres, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Systèmes de décision pour le négoce de titres
• Divers appareils de sécurité

Transport

En transport, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Fonctionnement automatique du métro
• Contrôle des horaires de train
• Accélération ferroviaire
• Freinage et arrêt

Reconnaissance et classification de formes

Dans la reconnaissance et la classification de motifs, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Reconnaissance vocale basée sur la logique floue
• Basé sur la logique floue
• Reconnaissance de l'écriture manuscrite
• Analyse des caractéristiques faciales basée sur la logique floue
• Analyse des commandes
• Recherche d'image floue

Psychologie

En psychologie, la logique floue est utilisée dans les domaines suivants -

• Analyse basée sur la logique floue du comportement humain
• Enquête criminelle et prévention basée sur un raisonnement de logique floue