Logique floue - Théorie des ensembles

Les ensembles flous peuvent être considérés comme une extension et une simplification excessive des ensembles classiques. Il peut être mieux compris dans le contexte de l'appartenance à un ensemble. Fondamentalement, il permet une appartenance partielle, ce qui signifie qu'il contient des éléments qui ont des degrés divers d'appartenance à l'ensemble. À partir de là, nous pouvons comprendre la différence entre un ensemble classique et un ensemble flou. L'ensemble classique contient des éléments qui satisfont des propriétés précises d'appartenance tandis que l'ensemble flou contient des éléments qui satisfont des propriétés d'appartenance imprécises.

Concept mathématique

Un ensemble flou $ \ widetilde {A} $ dans l'univers d'information $ U $ peut être défini comme un ensemble de paires ordonnées et il peut être représenté mathématiquement par -

$$ \ widetilde {A} = \ gauche \ {\ gauche (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ gauche (y \ droite) \ droite) | y \ in U \ right \} $$

Ici $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = degré d'appartenance de $ y $ dans \ widetilde {A}, suppose des valeurs comprises entre 0 et 1, soit $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Représentation d'un ensemble flou

Considérons maintenant deux cas d'univers d'informations et comprenons comment un ensemble flou peut être représenté.

Cas 1

Quand l'univers d'information $ U $ est discret et fini -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Cas 2

Quand l'univers d'information $ U $ est continu et infini -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

Dans la représentation ci-dessus, le symbole de sommation représente la collection de chaque élément.

Opérations sur des ensembles flous

Ayant deux ensembles flous $ \ widetilde {A} $ et $ \ widetilde {B} $, l'univers d'information $ U $ et un élément de l'univers, les relations suivantes expriment l'opération d'union, d'intersection et de complément sur des ensembles flous.

Union / Flou 'OU'

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Union/Fuzzy ‘OR’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Ici, ∨ représente l'opération 'max'.

Intersection / Flou 'ET'

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Intersection/Fuzzy ‘AND’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Ici, ∧ représente l'opération «min».

Complément / Flou 'NON'

Considérons la représentation suivante pour comprendre comment le Complement/Fuzzy ‘NOT’ la relation fonctionne -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ quad y \ in U $$

Propriétés des ensembles flous

Discutons des différentes propriétés des ensembles flous.

Propriété commutative

Ayant deux ensembles flous $ \ widetilde {A} $ et $ \ widetilde {B} $, cette propriété déclare -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cup \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propriété associative

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ (\ widetilde {A} \ cup \ left \ widetilde {B}) \ cup \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right) \ cup \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propriété distributive

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propriété Idempotency

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, cette propriété indique -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propriété d'identité

Pour l'ensemble flou $ \ widetilde {A} $ et l'ensemble universel $ U $, cette propriété indique -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ cup U = U $$

Propriété transitive

Ayant trois ensembles flous $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ et $ \ widetilde {C} $, cette propriété déclare -

$$ If \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propriété Involution

Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, cette propriété indique -

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Loi de Morgan

Cette loi joue un rôle crucial dans la preuve des tautologies et des contradictions. Cette loi stipule -

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$