Fuzzy Logic - Refresher traditionnel Fuzzy
La logique, qui n'était à l'origine que l'étude de ce qui distingue les arguments solides des arguments non fondés, s'est maintenant développée en un système puissant et rigoureux par lequel de vraies déclarations peuvent être découvertes, étant donné d'autres déclarations qui sont déjà connues pour être vraies.
Prédis la logique
Cette logique traite des prédicats, qui sont des propositions contenant des variables.
Un prédicat est une expression d'une ou plusieurs variables définies sur un domaine spécifique. Un prédicat avec des variables peut être une proposition en attribuant une valeur à la variable ou en quantifiant la variable.
Voici quelques exemples de prédicats -
- Soit E (x, y) "x = y"
- Soit X (a, b, c) "a + b + c = 0"
- Soit M (x, y) "x est marié à y"
Logique propositionnelle
Une proposition est un ensemble d'énoncés déclaratifs qui ont soit une valeur de vérité «vrai», soit une valeur de vérité «faux». Une proposition est constituée de variables propositionnelles et de connecteurs. Les variables propositionnelles sont entachées de majuscules (A, B, etc.). Les connecteurs connectent les variables propositionnelles.
Quelques exemples de propositions sont donnés ci-dessous -
- "L'homme est mortel", il renvoie la valeur de vérité "TRUE"
- "12 + 9 = 3 - 2", il renvoie la valeur de vérité "FALSE"
Ce qui suit n'est pas une proposition -
"A is less than 2" - C'est parce qu'à moins de donner une valeur spécifique de A, nous ne pouvons pas dire si l'énoncé est vrai ou faux.
Connectifs
En logique propositionnelle, nous utilisons les cinq connecteurs suivants -
- OU (∨∨)
- ET (∧∧)
- Négation / NON (¬¬)
- Implication / si-alors (→→)
- Si et seulement si (⇔⇔)
OU (∨∨)
L'opération OU de deux propositions A et B (écrites comme A∨BA∨B) est vraie si au moins l'une des variables propositionnelles A ou B est vraie.
La table de vérité est la suivante -
| UNE | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Vrai |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Faux |
ET (∧∧)
L'opération ET de deux propositions A et B (écrites comme A∧BA∧B) est vraie si les deux variables propositionnelles A et B sont vraies.
La table de vérité est la suivante -
| UNE | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Faux |
Négation (¬¬)
La négation d'une proposition A (écrite comme ¬A¬A) est fausse quand A est vraie et est vraie quand A est fausse.
La table de vérité est la suivante -
| UNE | ¬A |
|---|---|
| Vrai | Faux |
| Faux | Vrai |
Implication / si-alors (→→)
Une implication A → BA → B est la proposition «si A, alors B». Il est faux si A est vrai et B est faux. Les autres cas sont vrais.
La table de vérité est la suivante -
| UNE | B | A → B |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Vrai |
| Faux | Faux | Vrai |
Si et seulement si (⇔⇔)
A⇔BA⇔B est un connecteur logique bi-conditionnel qui est vrai lorsque p et q sont identiques, c'est-à-dire que les deux sont faux ou les deux sont vrais.
La table de vérité est la suivante -
| UNE | B | A⇔B |
|---|---|---|
| Vrai | Vrai | Vrai |
| Vrai | Faux | Faux |
| Faux | Vrai | Faux |
| Faux | Faux | Vrai |
Formule bien formée
Well Formed Formula (wff) est un prédicat contenant l'un des éléments suivants -
- Toutes les constantes propositionnelles et variables propositionnelles sont des wffs.
- Si x est une variable et Y est un wff, ∀xY et ∃xY sont également wff.
- La valeur de vérité et les valeurs fausses sont des wffs.
- Chaque formule atomique est un wff.
- Tous les connecteurs connectant des wffs sont des wff.
Quantificateurs
La variable des prédicats est quantifiée par des quantificateurs. Il existe deux types de quantificateurs dans la logique des prédicats -
- Quantificateur universel
- Quantificateur existentiel
Quantificateur universel
Le quantificateur universel indique que les déclarations dans sa portée sont vraies pour chaque valeur de la variable spécifique. Il est désigné par le symbole ∀.
∀xP(x) est lu comme pour chaque valeur de x, P (x) est vrai.
Example- «L'homme est mortel» peut être transformé en la forme propositionnelle ∀xP (x). Ici, P (x) est le prédicat qui dénote que x est mortel et que l'univers du discours est tout homme.
Quantificateur existentiel
Le quantificateur existentiel indique que les déclarations dans sa portée sont vraies pour certaines valeurs de la variable spécifique. Il est désigné par le symbole ∃.
∃xP(x) pour certaines valeurs de x est lu comme, P (x) est vrai.
Example - "Certaines personnes sont malhonnêtes" peut se transformer en la forme propositionnelle ∃x P (x) où P (x) est le prédicat qui dénote x est malhonnête et l'univers du discours est quelques personnes.
Quantificateurs imbriqués
Si nous utilisons un quantificateur qui apparaît dans le cadre d'un autre quantificateur, on l'appelle un quantificateur imbriqué.
Example
- ∀ a∃bP (x, y) où P (a, b) désigne a + b = 0
- ∀ a∀b∀cP (a, b, c) où P (a, b) désigne a + (b + c) = (a + b) + c
Note - ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)