Logique floue - Fonction d'appartenance
Nous savons déjà que la logique floue n'est pas une logique floue mais une logique utilisée pour décrire le flou. Ce flou est le mieux caractérisé par sa fonction d'appartenance. En d'autres termes, nous pouvons dire que la fonction d'appartenance représente le degré de vérité en logique floue.
Voici quelques points importants relatifs à la fonction d'adhésion -
Les fonctions d'appartenance ont été introduites pour la première fois en 1965 par Lofti A. Zadeh dans son premier article de recherche «Fuzzy sets».
Les fonctions d'appartenance caractérisent le flou (c'est-à-dire toutes les informations d'un ensemble flou), que les éléments des ensembles flous soient discrets ou continus.
Les fonctions d'appartenance peuvent être définies comme une technique permettant de résoudre des problèmes pratiques par l'expérience plutôt que par la connaissance.
Les fonctions d'appartenance sont représentées par des formes graphiques.
Les règles de définition du flou sont également floues.
Notation mathématique
Nous avons déjà étudié qu'un ensemble flou à dans l'univers d'information U peut être défini comme un ensemble de paires ordonnées et il peut être représenté mathématiquement par -
$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$
Ici $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = fonction d'appartenance de $ \ widetilde {A} $; ceci suppose des valeurs comprises entre 0 et 1, c'est-à-dire $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. La fonction d'appartenance $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mappe $ U $ à l'espace d'appartenance $ M $.
Le point $ \ left (\ bullet \ right) $ dans la fonction d'appartenance décrite ci-dessus, représente l'élément dans un ensemble flou; qu'elle soit discrète ou continue.
Caractéristiques des fonctions d'adhésion
Nous allons maintenant discuter des différentes fonctionnalités des fonctions d'adhésion.
Coeur
Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, le noyau d'une fonction d'appartenance est cette région de l'univers qui est caractérisée par l'appartenance complète à l'ensemble. Par conséquent, le noyau est constitué de tous ces éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$
Soutien
Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, le support d'une fonction d'appartenance est la région de l'univers qui est caractérisée par une appartenance différente de zéro à l'ensemble. Le noyau est donc constitué de tous les éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$
Frontière
Pour tout ensemble flou $ \ widetilde {A} $, la limite d'une fonction d'appartenance est la région de l'univers qui est caractérisée par une appartenance non nulle mais incomplète à l'ensemble. Par conséquent, le noyau est constitué de tous ces éléments $ y $ de l'univers de l'information tels que,
$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$
Fuzzification
Il peut être défini comme le processus de transformation d'un ensemble net en un ensemble flou ou d'un ensemble flou en un ensemble plus flou. Fondamentalement, cette opération traduit des valeurs d'entrée précises et nettes en variables linguistiques.
Voici les deux méthodes importantes de fuzzification -
Prise en charge de la méthode de fuzzification (s-fuzzification)
Dans cette méthode, l'ensemble fuzzifié peut être exprimé à l'aide de la relation suivante -
$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ gauche (x_1 \ droite) + \ mu _2Q \ gauche (x_2 \ droite) + ... + \ mu _nQ \ gauche (x_n \ droite) $$
Ici l'ensemble flou $ Q \ left (x_i \ right) $ est appelé comme noyau de fuzzification. Cette méthode est implémentée en gardant $ \ mu _i $ constant et $ x_i $ étant transformé en un ensemble flou $ Q \ left (x_i \ right) $.
Méthode de fuzzification de grade (g-fuzzification)
C'est assez similaire à la méthode ci-dessus, mais la principale différence est qu'elle a gardé $ x_i $ constant et $ \ mu _i $ est exprimé sous forme d'un ensemble flou.
Défuzzification
Il peut être défini comme le processus consistant à réduire un ensemble flou en un ensemble net ou à convertir un élément flou en un élément net.
Nous avons déjà étudié que le processus de fuzzification implique la conversion de quantités nettes en quantités floues. Dans un certain nombre d'applications d'ingénierie, il est nécessaire de défuzzifier le résultat ou plutôt «résultat flou» afin qu'il doive être converti en résultat net. Mathématiquement, le processus de défuzzification est également appelé «arrondir».
Les différentes méthodes de défuzzification sont décrites ci-dessous -
Méthode d'adhésion maximale
Cette méthode est limitée aux fonctions de sortie de crête et également connue sous le nom de méthode de hauteur. Mathématiquement, il peut être représenté comme suit -
$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: for \: all \: x \ in X $$
Ici, $ x ^ * $ est la sortie défuzzifiée.
Méthode centroïde
Cette méthode est également connue sous le nom de méthode du centre de surface ou du centre de gravité. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -
$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$
Méthode de la moyenne pondérée
Dans cette méthode, chaque fonction d'appartenance est pondérée par sa valeur d'appartenance maximale. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -
$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$
Adhésion Mean-Max
Cette méthode est également connue comme le milieu des maxima. Mathématiquement, la sortie défuzzifiée $ x ^ * $ sera représentée par -
$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$