Théorème caratheodory

Soit S un ensemble arbitraire dans $ \ mathbb {R} ^ n $ .Si $ x \ in Co \ left (S \ right) $, alors $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ droite) $.

Preuve

Puisque $ x \ dans Co \ left (S \ right) $, alors $ x $ est représenté par une combinaison convexe d'un nombre fini de points dans S, ie,

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ et $ x_j \ en S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Si $ k \ leq n + 1 $, le résultat obtenu est évidemment vrai.

Si $ k \ geq n + 1 $, alors $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ sont linéairement dépendants .

$ \ Rightarrow \ exists \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (pas tout zéro) tel que $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ droite) = 0 $

Définissez $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, puis $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ limites_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

où tous les $ de $ \ mu_j ne sont pas égaux à zéro. Puisque $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, au moins un des $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Ensuite, $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Choisissez $ \ alpha $ tel que $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ pour certains $ i = 1,2, ..., k $

Si $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Si $ \ mu_j> 0, alors \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

En particulier, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, par définition de $ \ alpha $

$ x = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, où

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ et $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ et $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Ainsi, x peut être représenté comme une combinaison convexe d'au plus (k-1) points.

Ce processus de réduction peut être répété jusqu'à ce que x soit représenté comme une combinaison convexe de (n + 1) éléments.