Optimisation convexe - Ensemble polyédrique

Un ensemble dans $ \ mathbb {R} ^ n $ est dit polyédrique s'il est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés, ie,

$ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: p_ {i} ^ {T} x \ leq \ alpha_i, i = 1,2, ...., n \ right \} $

Par exemple,

  • $ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: AX = b \ right \} $

  • $ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: AX \ leq b \ right \} $

  • $ \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: AX \ geq b \ right \} $

Cône polyédrique

Un ensemble dans $ \ mathbb {R} ^ n $ est dit cône polyédrique s'il est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces contenant l'origine, c'est-à-dire $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb { R} ^ n: p_ {i} ^ {T} x \ leq 0, i = 1, 2, ... \ right \} $

Polytope

Un polytope est un ensemble polyédrique qui est borné.

Remarques

  • Un polytope est une coque convexe d'un ensemble fini de points.
  • Un cône polyédrique est généré par un ensemble fini de vecteurs.
  • Un ensemble polyédrique est un ensemble fermé.
  • Un ensemble polyédrique est un ensemble convexe.