Optimisation convexe - Direction

Soit S un ensemble convexe fermé dans $ \ mathbb {R} ^ n $. Un vecteur non nul $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ est appelé une direction de S si pour chaque $ x \ dans S, x + \ lambda d \ dans S, \ forall \ lambda \ geq 0. $

• Deux directions $ d_1 $ et $ d_2 $ de S sont dites distinctes si $ d \ neq \ alpha d_2 $ pour $ \ alpha> 0 $.

• Une direction $ d $ de $ S $ est dite direction extrême si elle ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire positive de deux directions distinctes, c'est-à-dire si $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ pour $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, puis $ d_1 = \ alpha d_2 $ pour quelques $ \ alpha $.

• Toute autre direction peut être exprimée comme une combinaison positive de directions extrêmes.

• Pour un ensemble convexe $ S $, la direction d telle que $ x + \ lambda d \ dans S $ pour certains $ x \ dans S $ et tout $ \ lambda \ geq0 $ est appelée recessive pour $ S $.

• Soit E l'ensemble des points où une certaine fonction $ f: S \ rightarrow $ sur un ensemble convexe non vide S dans $ \ mathbb {R} ^ n $ atteint son maximum, alors $ E $ est appelé face exposée de $ S $. Les directions des faces exposées sont appelées directions exposées.

• Un rayon dont la direction est une direction extrême est appelé un rayon extrême.

Exemple

Considérons la fonction $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, où $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Soit d un vecteur unitaire dans $ \ mathbb {R} ^ n $

Alors, d est la direction de la fonction f car pour tout $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.