Fonction pseudoconvexe

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ une fonction différentiable et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $, alors f est dit pseudoconvexe si pour chaque $ x_1, x_2 \ en S $ avec $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, nous avons $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $, ou de manière équivalente si $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0 $

Fonction pseudoconcave

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ une fonction différentiable et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $, alors f est dit pseudoconvexe si pour chaque $ x_1, x_2 \ en S $ avec $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, nous avons $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $, ou de manière équivalente si $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) )> 0 $

Remarques

• Si une fonction est à la fois pseudoconvexe et pseudoconcave, alors on l'appelle pseudolinéaire.

• Une fonction convexe différentiable est également pseudoconvexe.

• Une fonction pseudoconvexe peut ne pas être convexe. Par exemple,

  $ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ n'est pas convexe. Si $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

  Ainsi, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

  Et, $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ droite) \ geq 0 $

  $ \ Flèche droite f \ gauche (x_2 \ droite) \ geq f \ gauche (x_1 \ droite) $

  Ainsi, il est pseudoconvexe.

  Une fonction pseudoconvexe est strictement quasiconvexe. Ainsi, chaque minimum local de pseudoconvexe est également un minimum global.

Fonction strictement pseudoconvexe

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ une fonction différentiable et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $, alors f est dit pseudoconvexe si pour chaque $ x_1, x_2 \ en S $ avec $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, nous avons $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $, ou de manière équivalente si $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0 $

Théorème

Soit f une fonction pseudoconvexe et supposons que $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ pour certains $ \ hat {x} \ in S $, alors $ \ hat {x} $ est globalement optimal solution de f sur S.

Preuve

Soit $ \ hat {x} $ un point critique de f, c'est-à-dire $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Puisque f est une fonction pseudoconvexe, pour $ x \ dans S, $ nous avons

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $$

Par conséquent, $ \ hat {x} $ est la solution globale optimale.

Remarque

Si f est une fonction strictement pseudoconvexe, $ \ hat {x} $ est une solution optimale globale unique.

Théorème

Si f est une fonction pseudoconvexe différentiable sur S, alors f est à la fois une fonction strictement quasiconvexe et quasiconvexe.

Remarques

• La somme de deux fonctions pseudoconvexes définies sur un ensemble ouvert S de $ \ mathbb {R} ^ n $ peut ne pas être pseudoconvexe.

• Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ une fonction quasiconvexe et S un sous-ensemble convexe non vide de $ \ mathbb {R} ^ n $ alors f est pseudoconvexe si et seulement si chaque point critique est un global minima de f sur S.

• Soit S un sous-ensemble convexe non vide de $ \ mathbb {R} ^ n $ et $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ une fonction telle que $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ pour chaque $ x \ dans S $ alors f est pseudoconvexe si et seulement si c'est une fonction quasiconvexe.