Fonction strictement quasiconvexe

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $ alors f est dit strictement fonction quasicovex si pour chaque $ x_1, x_2 \ en S $ avec $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, on a $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

Remarques

• Toute fonction strictement quasiconvexe est strictement convexe.
• La fonction strictement quasiconvexe n'implique pas la quasiconvexité.
• La fonction strictement quasiconvexe peut ne pas être fortement quasiconvexe.
• La fonction pseudoconvexe est une fonction strictement quasiconvexe.

Théorème

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ une fonction strictement quasiconvexe et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $. Considérez le problème: $ min \: f \ left (x \ droite), x \ en S $. Si $ \ hat {x} $ est la solution optimale locale, alors $ \ bar {x} $ est la solution optimale globale.

Preuve

Soit il existe $ \ bar {x} \ dans S $ tel que $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

Puisque $ \ bar {x}, \ hat {x} \ dans S $ et S est un ensemble convexe, donc,

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

Puisque $ \ hat {x} $ est des minima locaux, $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

Puisque f est strictement quasiconvexe.

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

C'est donc une contradiction.

Fonction strictement quasi-concave

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ et S un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $, alors f est censé être une fonction strictement quasicovex si pour chaque $ x_1, x_2 \ in S $ avec $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $, on a

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

Exemples

• $ f \ gauche (x \ droite) = x ^ 2-2 $

  C'est une fonction strictement quasiconvexe car si on prend deux points quelconques $ x_1, x_2 $ dans le domaine qui satisfont les contraintes de la définition $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ Au fur et à mesure que la fonction diminue dans l'axe des x négatif et qu'elle augmente dans l'axe des x positif ( puisqu'il s'agit d'une parabole).

• $ f \ gauche (x \ droite) = - x ^ 2 $

  Ce n'est pas une fonction strictement quasiconvexe car si nous prenons $ x_1 = 1 $ et $ x_2 = -1 $ et $ \ lambda = 0.5 $, alors $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ mais $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ Par conséquent, il ne satisfait pas les conditions énoncées dans la définition. Mais c'est une fonction quasi-concave car si l'on prend deux points quelconques du domaine qui satisfont les contraintes de la définition $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ gauche (x_1 \ droite), f \ gauche (x_2 \ droite) \ droite \} $. Au fur et à mesure que la fonction augmente sur l'axe des x négatif et qu'elle diminue sur l'axe des x positif.