Fonctions Quasiconvex et Quasiconcave

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ où $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ est un ensemble convexe non vide. La fonction f est dite quasiconvexe si pour chaque $ x_1, x_2 \ dans S $, on a $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Par exemple, $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Soit $ f: S \ rightarrow R $ où $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ est un ensemble convexe non vide. La fonction f est dite quasiconvexe si pour chaque $ x_1, x_2 \ dans S $, on a $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Remarques

  • Chaque fonction convexe est quasiconvexe mais l'inverse n'est pas vrai.
  • Une fonction qui est à la fois quasiconvexe et quasi-concave est appelée quasimonotone.

Théorème

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ et S est un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $. La fonction f est quasiconvexe si et seulement si $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ est convexe pour chaque nombre réel \ alpha $

Preuve

Soit f quasiconvexe sur S.

Soit $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ donc $ x_1, x_2 \ in S $ et $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Soit $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ et soit $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Ainsi, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right) \} \ leq \ alpha $

Par conséquent, $ S _ {\ alpha} $ est convexe.

Converser

Soit $ S _ {\ alpha} $ convexe pour chaque $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ dans S, \ lambda \ dans \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ gauche (1- \ lambda \ droite) x_2 $

Soit $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Pour $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Flèche droite f \ gauche (\ lambda x_1 + \ gauche (1- \ lambda \ droite) x_2 \ droite) \ leq \ alpha $

D'où prouvé.

Théorème

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ et S est un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $. La fonction f est quasi-concave si et seulement si $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ est convexe pour chaque nombre réel $ \ alpha $.

Théorème

Soit $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ et S est un ensemble convexe non vide dans $ \ mathbb {R} ^ n $. La fonction f est quasimonotone si et seulement si $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ est convexe pour chaque nombre réel $ \ alpha $.