Optimisation convexe - Conditions de Fritz-John

Conditions nécessaires

Théorème

Considérons le problème - $ min f \ left (x \ right) $ tel que $ x \ in X $ où X est un ensemble ouvert dans $ \ mathbb {R} ^ n $ et soit $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i = 1,2, .... m $.

Soit $ f: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ et $ g_i: X \ rightarrow \ mathbb {R} $

Soit $ \ hat {x} $ une solution faisable et soit f et $ g_i, i \ in I $ sont différentiables en $ \ hat {x} $ et $ g_i, i \ in J $ sont continus en $ \ hat { x} $.

Si $ \ hat {x} $ résout le problème ci-dessus localement, alors il existe $ u_0, u_i \ in \ mathbb {R}, i \ in I $ tel que $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ droite) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0

où $ u_0, u_i \ geq 0, i \ in I $ et $ \ left (u_0, u_I \ right) \ neq \ left (0,0 \ right) $

De plus, si $ g_i, i \ in J $ sont également différentiables en $ \ hat {x} $, alors les conditions ci-dessus peuvent être écrites comme -

$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0

$ u_0, u_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, ...., m $

$ \ left (u_0, u \ right) \ neq \ left (0,0 \ right), u = \ left (u_1, u_2, s, u_m \ right) \ in \ mathbb {R} ^ m $

Remarques

• Les $ u_i $ sont appelés multiplicateurs lagrangiens.

• La condition que $ \ hat {x} $ soit faisable pour le problème donné est appelée condition primale de faisable.

• L'exigence $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left (x \ right) = 0 $ est appelée double faisabilité état.

• La condition $ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, i = 1, 2, ... m $ est appelée condition de relâchement complémentaire. Cette condition nécessite $ u_i = 0, i \ in J $

• Ensemble, la condition de faisabilité primitive, la condition de faisabilité double et le relâchement complémentaire sont appelés conditions de Fritz-John.

Conditions suffisantes

Théorème

S'il existe un $ \ varepsilon $ -neighbourhood de $ \ hat {x} N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right), \ varepsilon> 0 $ tel que f soit pseudoconvexe sur $ N_ \ varepsilon \ left ( \ hat {x} \ right) \ cap S $ et $ g_i, i \ in I $ sont strictement pseudoconvexes sur $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $, puis $ \ hat { x} $ est la solution locale optimale au problème décrit ci-dessus. Si f est pseudoconvexe en $ \ hat {x} $ et si $ g_i, i \ in I $ sont à la fois une fonction strictement pseudoconvexe et quasiconvexe en $ \ hat {x}, \ hat {x} $ est la solution globale optimale au problème décrit ci-dessus.

Exemple

• $ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

  tel que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5, x_1 + 2x_2 \ leq 4, x_1, x_2 \ geq 0 $ Et $ \ hat {x} = \ left (2 , 1 \ droite) $

  Soit $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5, $

  $ g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) = x_1 + 2x_2-4, $

  $ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_1 $ et $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = -x_2 $.

  Ainsi, les contraintes ci-dessus peuvent être écrites comme -

  $ g_1 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0, $

  $ g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0, $

  $ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ et

  $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Ainsi, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ donc, $ u_3 = 0, u_4 = 0 $

  $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ et $ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

  En mettant ces valeurs dans la première condition des conditions de Fritz-John, on obtient -

  $ u_0 = \ frac {3} {2} u_2, \: \: u_1 = \ frac {1} {2} u_2, $ et soit $ u_2 = 1 $, donc $ u_0 = \ frac {3} {2} , \: \: u_1 = \ frac {1} {2} $

  Ainsi les conditions de Fritz John sont satisfaites.

• $ min f \ gauche (x_1, x_2 \ droite) = - x_1 $.

  tel que $ x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 \ leq 0 $,

  $ -x_2 \ leq 0 $ et $ \ hat {x} = \ left (1,0 \ right) $

  Soit $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 $,

  $ g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) = - x_2 $

  Ainsi, les contraintes ci-dessus peuvent être écrites comme -

  $ g_1 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0, $

  $ g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0, $

  Ainsi, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $

  $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (-1,0 \ right) $

  $ \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0,1 \ right) $ et $ g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0, -1 \ right) ) $

  En mettant ces valeurs dans la première condition des conditions de Fritz-John, on obtient -

  $ u_0 = 0, \: \: u_1 = u_2 = a> 0 $

  Ainsi les conditions de Fritz John sont satisfaites.