Conditions nécessaires Karush-Kuhn-Tucker Optimality

Considérez le problème -

$ min \: f \ left (x \ right) $ tel que $ x \ in X $, où X est un ensemble ouvert dans $ \ mathbb {R} ^ n $ et $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, je = 1, 2, ..., m $

Soit $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Soit $ \ hat {x} \ in S $ et soit $ f $ et $ g_i, i \ in I $ sont différentiables en $ \ hat {x} $ et $ g_i, i \ in J $ sont continus en $ \ hat {x} $. De plus, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ sont linéairement indépendants. Si $ \ hat {x} $ résout localement le problème ci-dessus, alors il existe $ u_i, i \ in I $ tel que

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ dans I $

Si $ g_i, i \ dans J $ sont également différentiables en $ \ hat {x} $. puis $ \ hat {x} $, puis

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Exemple

Considérez le problème suivant -

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

tel que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ et $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Soit $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_ {1} $ et $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $

Ainsi, les contraintes ci-dessus peuvent être écrites comme -

$ g_1 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0, g_2 \ gauche (x_1, x_2 \ droite) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ et $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Ainsi, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ donc , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ et

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

En mettant ces valeurs dans la première condition des conditions de Karush-Kuhn-Tucker, on obtient -

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ et $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Ainsi les conditions de Karush-Kuhn-Tucker sont satisfaites.