Optimisation convexe - Norme

Une norme est une fonction qui donne une valeur strictement positive à un vecteur ou à une variable.

La norme est une fonction $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

Les caractéristiques de base d'une norme sont -

Soit $ X $ un vecteur tel que $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

  • $ \ gauche \ | x \ droite \ | \ geq 0 $

  • $ \ gauche \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $

  • $ \ gauche \ | \ alpha x \ droite \ | = \ gauche | \ alpha \ droite | \ gauche \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X and \: \ alpha \: is \: a \: scalar $

  • $ \ gauche \ | x + y \ droite \ | \ leq \ gauche \ | x \ droite \ | + \ gauche \ | y \ droit \ | \ forall x, y \ dans X $

  • $ \ gauche \ | xy \ droite \ | \ geq \ gauche \ | \ gauche \ | x \ droite \ | - \ gauche \ | y \ droit \ | \ droit \ | $

Par définition, la norme est calculée comme suit -

  • $ \ gauche \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ droite | $

  • $ \ gauche \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $

  • $ \ gauche \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

La norme est une fonction continue.

Preuve

Par définition, si $ x_n \ rightarrow x $ in $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ alors $ f \ left (x \ right) $ est une fonction constante.

Soit $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ droite \ | $

Par conséquent, $ \ left | f \ gauche (x_n \ droite) -f \ gauche (x \ droite) \ droite | = \ gauche | \ gauche \ | x_n \ droite \ | - \ gauche \ | x \ droite \ | \ droite | \ leq \ gauche | \ gauche | x_n-x \ droite | \: \ droite | $

Puisque $ x_n \ rightarrow x $ donc, $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

Donc $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

Par conséquent, la norme est une fonction continue.