Circuits arithmétiques numériques

Dans ce chapitre, discutons des circuits arithmétiques de base comme l'additionneur binaire et le soustracteur binaire. Ces circuits peuvent être exploités avec des valeurs binaires 0 et 1.

Additionneur binaire

L'opération arithmétique la plus élémentaire est l'addition. Le circuit, qui effectue l'addition de deux nombres binaires est connu commeBinary adder. Tout d'abord, implémentons un additionneur, qui effectue l'addition de deux bits.

Demi-additionneur

Le demi-additionneur est un circuit combinatoire, qui effectue l'addition de deux nombres binaires A et B sont de single bit. Il produit deux sorties sum, S & carry, C.

le Truth table du demi-additionneur est montré ci-dessous.

Contributions Les sorties
UNE B C S
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

Lorsque nous ajoutons deux bits, la somme résultante peut avoir des valeurs allant de 0 à 2 en décimal. Nous pouvons représenter les chiffres décimaux 0 et 1 avec un seul bit en binaire. Mais, nous ne pouvons pas représenter le chiffre décimal 2 avec un seul bit en binaire. Donc, nous avons besoin de deux bits pour le représenter en binaire.

Soit, somme, S est le bit le moins significatif et reporté, C est le bit le plus significatif de la somme résultante. Pour les trois premières combinaisons d'entrées, report, C est zéro et la valeur de S sera soit zéro soit un en fonction dunumber of onesprésent aux entrées. Mais, pour la dernière combinaison d'entrées, report, C est un et somme, S est zéro, puisque la somme résultante est de deux.

À partir de la table de vérité, nous pouvons directement écrire le Boolean functions pour chaque sortie comme

$$ S = A \ oplus B $$

$ C = AB $

Nous pouvons implémenter les fonctions ci-dessus avec une porte Ex-OR à 2 entrées et une porte ET à 2 entrées. lecircuit diagram du demi-additionneur est montré dans la figure suivante.

Dans le circuit ci-dessus, une porte Ex-OU à deux entrées et une porte ET à deux entrées produisent respectivement la somme, S et report, C. Par conséquent, Half-additionner effectue l'addition de deux bits.

Additionneur complet

L'additionneur complet est un circuit combinatoire, qui effectue le addition of three bitsA, B et C dans . Où, A et B sont les deux bits significatifs parallèles et C in est le bit de retenue, qui est généré à partir de l'étape précédente. Cet additionneur complet produit également deux sorties sum, S & carry, C out , qui sont similaires à Half additionner.

le Truth table de l'additionneur complet est montré ci-dessous.

Contributions Les sorties
A B Cin Cout S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

Lorsque nous ajoutons trois bits, la somme résultante peut avoir des valeurs allant de 0 à 3 en décimal. Nous pouvons représenter les chiffres décimaux 0 et 1 avec un seul bit en binaire. Mais, nous ne pouvons pas représenter les chiffres décimaux 2 et 3 avec un seul bit en binaire. Donc, nous avons besoin de deux bits pour représenter ces deux chiffres décimaux en binaire.

Soit, somme, S est le bit le moins significatif et reporté, C out est le bit le plus significatif de la somme résultante. Il est facile de renseigner les valeurs des sorties pour toutes les combinaisons d'entrées dans la table de vérité. Il suffit de compter lenumber of onesprésent aux entrées et écrire le nombre binaire équivalent aux sorties. Si C in est égal à zéro, alors la table de vérité de l'additionneur complet est la même que celle de la table de vérité du demi-additionneur.

Nous obtiendrons ce qui suit Boolean functions pour chaque sortie après simplification.

$$ S = A \ oplus B \ oplus C_ {dans} $$

$ c_ {out} = AB + \ left (A \ oplus B \ right) c_ {in} $

La somme, S est égale à un, lorsqu'un nombre impair de uns est présent aux entrées. Nous savons que la porte Ex-OR produit une sortie, qui est une fonction impaire. Ainsi, nous pouvons utiliser deux portes Ex-OR à 2 entrées ou une porte Ex-OR à 3 entrées afin de produire la somme, S. Nous pouvons implémenter le report, C out en utilisant deux portes ET à 2 entrées et une porte OU. lecircuit diagram de l'additionneur complet est illustré dans la figure suivante.

Cet additionneur est appelé comme Full addercar pour implémenter un additionneur complet, nous avons besoin de deux additionneurs Half et d'une porte OU. Si C in est égal à zéro, alors l'additionneur complet devient Demi-additionneur. Nous pouvons le vérifier facilement à partir du schéma ci-dessus ou des fonctions booléennes des sorties de l'additionneur complet.

Additionneur binaire 4 bits

L'additionneur binaire 4 bits effectue le addition of two 4-bit numbers. Soit les nombres binaires 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ et $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Nous pouvons implémenter un additionneur binaire 4 bits de l'une des deux manières suivantes.

  • Utilisez un demi-additionneur pour ajouter deux bits de poids faible et trois additionneurs complets pour ajouter trois bits de poids plus élevé.

  • Utilisez quatre additionneurs complets pour l'uniformité. Puisque le report initial C in est nul, l'additionneur complet qui est utilisé pour ajouter les bits les moins significatifs devient l'additionneur demi.

Pour le moment, nous avons envisagé une deuxième approche. leblock diagram de l'additionneur binaire 4 bits est illustré dans la figure suivante.

Ici, les 4 additionneurs complets sont en cascade. Chaque additionneur complet obtient les bits respectifs de deux entrées parallèles A et B. La sortie de retenue d'un additionneur complet sera l'entrée de retenue de l'additionneur complet d'ordre supérieur suivant. Cet additionneur binaire de 4 bits produit la somme résultante ayant au plus 5 bits. Donc, effectuez la dernière étape. L'additionneur complet sera le MSB.

De cette façon, nous pouvons implémenter n'importe quel additionneur binaire d'ordre supérieur simplement en cascadant le nombre requis d'additionneurs complets. Cet additionneur binaire est également appeléripple carry (binary) adder parce que le report se propage (ondulations) d'une étape à l'autre.

Soustracteur binaire

Le circuit, qui effectue la soustraction de deux nombres binaires est connu comme Binary subtractor. Nous pouvons implémenter le soustracteur binaire en suivant deux méthodes.

  • Soustracteurs complets en cascade
  • Méthode du complément de 2

Dans la première méthode, nous obtiendrons un soustracteur binaire de n bits en cascadant des soustracteurs complets 'n'. Ainsi, vous pouvez d'abord implémenter Half soustractor et Full soustractor, similaires à Half additionner & Full additionneur. Ensuite, vous pouvez implémenter un soustracteur binaire de n bits, en cascadant des soustracteurs complets «n». Ainsi, nous aurons deux circuits séparés pour l'addition et la soustraction binaires de deux nombres binaires.

Dans la deuxième méthode, nous pouvons utiliser le même additionneur binaire pour soustraire deux nombres binaires simplement en faisant quelques modifications dans la deuxième entrée. Ainsi, une opération d'addition binaire interne a lieu, mais la sortie est une soustraction résultante.

Nous savons que la soustraction de deux nombres binaires A et B peut s'écrire,

$$ AB = A + \ left ({2} 's \: compliment \: of \: B \ right) $$

$ \ Rightarrow AB = A + \ left ({1} 's \: compliment \: of \: B \ right) + 1 $

Soustracteur binaire 4 bits

Le soustracteur binaire 4 bits produit le subtraction of two 4-bit numbers. Soit les nombres binaires 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ et $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. En interne, le fonctionnement du soustracteur binaire 4 bits est similaire à celui de l'additionneur binaire 4 bits. Si les bits normaux du nombre binaire A, les bits complétés du nombre binaire B et le report initial (emprunter), C in as one sont appliqués à l'additionneur binaire de 4 bits, alors il devient un soustracteur binaire de 4 bits. leblock diagram du soustracteur binaire 4 bits est illustré dans la figure suivante.

Ce soustracteur binaire de 4 bits produit une sortie, qui a au plus 5 bits. Si le nombre binaire A est supérieur au nombre binaire B, alors MSB de la sortie est égal à zéro et les bits restants contiennent la grandeur de AB. Si le nombre binaire A est inférieur au nombre binaire B, alors MSB de la sortie est un. Alors, prenez le complément 2 de la sortie afin d'obtenir la magnitude de AB.

De cette façon, nous pouvons implémenter n'importe quel soustracteur binaire d'ordre supérieur simplement en cascadant le nombre requis d'additionneurs complets avec les modifications nécessaires.

Additionneur / soustracteur binaire

Le circuit, qui peut être utilisé pour effectuer l'addition ou la soustraction de deux nombres binaires à tout moment, est appelé Binary Adder / subtractor. Les deux, l'additionneur binaire et le soustracteur binaire contiennent un ensemble d'additionneurs complets, qui sont en cascade. Les bits d'entrée du nombre binaire A sont directement appliqués dans l'additionneur binaire et le soustracteur binaire.

Il existe deux différences dans les entrées des additionneurs complets qui sont présents dans l'additionneur binaire et le soustracteur binaire.

  • Les bits d'entrée du nombre binaire B sont directement appliqués aux additionneurs complets dans l'additionneur binaire, tandis que les bits complétés du nombre binaire B sont appliqués aux additionneurs complets dans le soustracteur binaire.

  • La retenue initiale, C 0 = 0 est appliquée dans un additionneur binaire à 4 bits, tandis que la retenue initiale (emprunter), C 0 = 1 est appliquée dans un soustracteur binaire à 4 bits.

Nous savons qu'un 2-input Ex-OR gateproduit une sortie, qui est la même que celle de la première entrée lorsque l'autre entrée est égale à zéro. De même, il produit une sortie, qui est le complément de la première entrée lorsque l'autre entrée en est une.

Par conséquent, nous pouvons appliquer les bits d'entrée du nombre binaire B aux portes Ex-OR à 2 entrées. L'autre entrée de toutes ces portes Ex-OR est C 0 . Ainsi, sur la base de la valeur de C 0 , les portes Ex-OR produisent les bits normaux ou complétés du nombre binaire B.

Additionneur / soustracteur binaire 4 bits

L'additionneur / soustracteur binaire de 4 bits produit soit l'addition, soit la soustraction de deux nombres de 4 bits en fonction de la valeur de report ou d'emprunt initial, 0 . Soit les nombres binaires de 4 bits, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ et $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Le fonctionnement de l'additionneur / soustracteur binaire 4 bits est similaire à celui de l'additionneur binaire 4 bits et du soustracteur binaire 4 bits.

Appliquer les bits normaux des nombres binaires A et B et porter ou emprunter initial, C 0 de l'extérieur à un additionneur binaire de 4 bits. leblock diagram de l'additionneur / soustracteur binaire 4 bits est illustré dans la figure suivante.

Si le report initial, 0 est zéro, alors chaque additionneur complet obtient les bits normaux des nombres binaires A et B. Ainsi, l'additionneur / soustracteur binaire de 4 bits produit une sortie, qui est leaddition of two binary numbers UN B.

Si l'emprunt initial, 0 est un, alors chaque additionneur complet obtient les bits normaux du nombre binaire A et les bits complétés du nombre binaire B. Ainsi, l'additionneur / soustracteur binaire de 4 bits produit une sortie, qui est lesubtraction of two binary numbers UN B.

Par conséquent, avec l'aide de portes Ex-OR supplémentaires, le même circuit peut être utilisé pour l'addition et la soustraction de deux nombres binaires.