Circuits numériques - Formulaires canoniques et standard
Nous obtiendrons quatre termes de produit booléen en combinant deux variables x et y avec une opération ET logique. Ces termes de produit booléens sont appelésmin terms ou standard product terms. Les termes min sont x'y ', x'y, xy' et xy.
De même, nous obtiendrons quatre termes de somme booléenne en combinant deux variables x et y avec une opération OU logique. Ces termes de somme booléenne sont appelés commeMax terms ou standard sum terms. Les termes Max sont x + y, x + y ', x' + y et x '+ y'.
Le tableau suivant montre la représentation des termes min et des termes MAX pour 2 variables.
| X | y | Termes minimum | Termes max |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Si la variable binaire est '0', alors elle est représentée comme le complément de la variable en terme min et comme la variable elle-même dans le terme Max. De même, si la variable binaire est '1', alors elle est représentée comme complément de variable dans le terme Max et comme la variable elle-même dans le terme min.
À partir du tableau ci-dessus, nous pouvons facilement remarquer que les termes minimum et les termes maximum sont complémentaires l'un de l'autre. S'il y a 'n' variables booléennes, alors il y aura 2 n termes min et 2 n termes Max.
Formulaires SoP et PoS canoniques
Une table de vérité se compose d'un ensemble d'entrées et de sorties. S'il y a 'n' variables d'entrée, alors il y aura 2 n combinaisons possibles avec des zéros et des uns. Ainsi, la valeur de chaque variable de sortie dépend de la combinaison des variables d'entrée. Ainsi, chaque variable de sortie aura «1» pour une combinaison de variables d'entrée et «0» pour une autre combinaison de variables d'entrée.
Par conséquent, nous pouvons exprimer chaque variable de sortie de deux manières.
- Formulaire SoP canonique
- Formulaire PoS canonique
Formulaire SoP canonique
La forme Canonical SoP signifie la forme Canonical Sum of Products. Sous cette forme, chaque terme de produit contient tous les littéraux. Donc, ces termes de produit ne sont rien d'autre que les termes minimum. Par conséquent, la forme SoP canonique est également appeléesum of min terms forme.
Tout d'abord, identifiez les termes min pour lesquels la variable de sortie est un, puis effectuez le OU logique de ces termes min afin d'obtenir l'expression booléenne (fonction) correspondant à cette variable de sortie. Cette fonction booléenne se présentera sous la forme d'une somme de termes min.
Suivez la même procédure pour les autres variables de sortie également, s'il y a plus d'une variable de sortie.
Exemple
Considérer ce qui suit truth table.
| Contributions | Production | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Ici, la sortie (f) est «1» pour quatre combinaisons d'entrées. Les termes min correspondants sont p'qr, pq'r, pqr ', pqr. En faisant un OU logique de ces quatre termes min, nous obtiendrons la fonction booléenne de la sortie (f).
Par conséquent, la fonction booléenne de sortie est, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. C'est lecanonical SoP formde la sortie, f. Nous pouvons également représenter cette fonction en suivant deux notations.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ somme m \ gauche (3,5,6,7 \ droite) $$
Dans une équation, nous avons représenté la fonction comme la somme des termes minimum respectifs. Dans une autre équation, nous avons utilisé le symbole pour la sommation de ces termes minimum.
Formulaire PoS canonique
La forme Canonical PoS signifie la forme Canonical Product of Sums. Sous cette forme, chaque terme de somme contient tous les littéraux. Donc, ces termes de somme ne sont rien d'autre que les termes Max. Par conséquent, la forme canonique de PoS est également appeléeproduct of Max terms forme.
Tout d'abord, identifiez les termes Max pour lesquels la variable de sortie est zéro, puis effectuez le ET logique de ces termes Max afin d'obtenir l'expression booléenne (fonction) correspondant à cette variable de sortie. Cette fonction booléenne sera sous la forme de produit de termes Max.
Suivez la même procédure pour les autres variables de sortie également, s'il y a plus d'une variable de sortie.
Example
Considérez la même table de vérité de l'exemple précédent. Ici, la sortie (f) est «0» pour quatre combinaisons d'entrées. Les termes Max correspondants sont p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. En faisant un ET logique de ces quatre termes Max, nous obtiendrons la fonction booléenne de la sortie (f).
Par conséquent, la fonction booléenne de la sortie est, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). C'est lecanonical PoS formde la sortie, f. Nous pouvons également représenter cette fonction en suivant deux notations.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ gauche (0,1,2,4 \ droite) $$
Dans une équation, nous avons représenté la fonction comme le produit des termes Max respectifs. Dans une autre équation, nous avons utilisé le symbole pour la multiplication de ces termes Max.
La fonction booléenne, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) est le dual de la fonction booléenne, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Par conséquent, les formulaires SoP canoniques et PoS canoniques sont Dualles uns aux autres. Fonctionnellement, ces deux formes sont identiques. En fonction de l'exigence, nous pouvons utiliser l'un de ces deux formulaires.
Formulaires SoP et PoS standard
Nous avons discuté de deux formes canoniques de représentation de la ou des sorties booléennes. De même, il existe deux formes standard de représentation des sorties booléennes. Ce sont la version simplifiée des formes canoniques.
- Formulaire SoP standard
- Formulaire PoS standard
Nous discuterons des portes logiques dans les chapitres suivants. Le principaladvantagedes formes standard est que le nombre d'entrées appliquées aux portes logiques peut être minimisé. Parfois, il y aura une réduction du nombre total de portes logiques requises.
Formulaire SoP standard
Le formulaire SoP standard signifie Standard Sum of Productsforme. Sous cette forme, il n'est pas nécessaire que chaque terme de produit contienne tous les littéraux. Ainsi, les conditions du produit peuvent être ou non les conditions minimales. Par conséquent, le formulaire SoP standard est la forme simplifiée du formulaire SoP canonique.
Nous obtiendrons la forme SoP standard de la variable de sortie en deux étapes.
- Obtenez la forme canonique SoP de la variable de sortie
- Simplifiez la fonction booléenne ci-dessus, qui se présente sous la forme canonique de SoP.
Suivez la même procédure pour les autres variables de sortie également, s'il y a plus d'une variable de sortie. Parfois, il n'est pas possible de simplifier le formulaire SoP canonique. Dans ce cas, les formulaires SoP canoniques et standard sont identiques.
Example
Convertissez la fonction booléenne suivante en un formulaire SoP standard.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
La fonction booléenne donnée est sous la forme canonique de SoP. Maintenant, nous devons simplifier cette fonction booléenne afin d'obtenir un formulaire SoP standard.
Step 1 - Utilisez le Boolean postulate, x + x = x. Cela signifie que l'opération OU logique avec n'importe quelle variable booléenne «n» fois sera égale à la même variable. Ainsi, nous pouvons écrire le dernier terme pqr encore deux fois.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Utiliser Distributive lawpour 1 er et 4 ème termes, 2 ème et 5 ème termes, 3 ème et 6 ème termes.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Utiliser Boolean postulate, x + x '= 1 pour simplifier les termes présents dans chaque parenthèse.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Utiliser Boolean postulate, x.1 = x pour simplifier ci-dessus trois termes.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Il s'agit de la fonction booléenne simplifiée. Par conséquent, lastandard SoP form correspondant à une forme SoP canonique donnée est f = pq + qr + pr
Formulaire PoS standard
Formulaire PoS standard signifie Standard Product of Sumsforme. Sous cette forme, chaque terme de somme n'a pas besoin de contenir tous les littéraux. Ainsi, les termes de somme peuvent ou non être les termes Max. Par conséquent, le formulaire PoS standard est la forme simplifiée du formulaire PoS canonique.
Nous obtiendrons la forme PoS standard de la variable de sortie en deux étapes.
- Obtenez la forme PoS canonique de la variable de sortie
- Simplifiez la fonction booléenne ci-dessus, qui est sous forme de PoS canonique.
Suivez la même procédure pour les autres variables de sortie également, s'il y a plus d'une variable de sortie. Parfois, il n'est pas possible de simplifier le formulaire PoS canonique. Dans ce cas, les formulaires PoS canoniques et standard sont identiques.
Example
Convertissez la fonction booléenne suivante en un formulaire PoS standard.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
La fonction booléenne donnée est sous forme canonique de PoS. Maintenant, nous devons simplifier cette fonction booléenne afin d'obtenir un formulaire PoS standard.
Step 1 - Utilisez le Boolean postulate, xx = x. Cela signifie que l'opération ET logique avec n'importe quelle variable booléenne «n» fois sera égale à la même variable. Ainsi, nous pouvons écrire le premier terme p + q + r deux fois de plus.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Utiliser Distributive law,x + (yz) = (x + y). (x + z) pour 1 ère et 4 ème parenthèse, 2 ème et 5 ème parenthèses, 3 ème et 6 ème parenthèses.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - Utiliser Boolean postulate, x.x '= 0 pour simplifier les termes présents dans chaque parenthèse.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Utiliser Boolean postulate, x + 0 = x pour simplifier les termes présents dans chaque parenthèse
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Il s'agit de la fonction booléenne simplifiée. Par conséquent, lastandard PoS form correspondant à une forme de PoS canonique donnée est f = (p + q).(q + r).(p + r). C'est ledual de la fonction booléenne, f = pq + qr + pr.
Par conséquent, les formulaires SoP standard et PoS standard sont doubles les uns par rapport aux autres.