Théorie des réseaux - Conversion delta en étoile

Dans le chapitre précédent, nous avons discuté d'un exemple de résistance équivalente liée à un problème. Là, nous avons calculé leequivalent resistanceentre les bornes A et B du réseau électrique donné facilement. Parce qu'à chaque étape, nous avons obtenu la combinaison de résistances connectées en série ou en parallèle.

Cependant, dans certaines situations, il est difficile de simplifier le réseau en suivant l'approche précédente. Par exemple, les résistances connectées sous forme delta (δ) ou en étoile. Dans de telles situations, nous devonsconvertle réseau d'une forme à l'autre afin de le simplifier davantage en utilisant une combinaison en série ou une combinaison en parallèle. Dans ce chapitre, parlons de laDelta to Star Conversion.

Réseau Delta

Considérer ce qui suit delta network comme indiqué dans la figure suivante.

Les équations suivantes représentent le equivalent resistance entre deux terminaux du réseau delta, lorsque le troisième terminal est maintenu ouvert.

$$ R_ {AB} = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {BC} = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {CA} = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Réseau Star

La figure suivante montre le equivalent star network correspondant au réseau delta ci-dessus.

Les équations suivantes représentent le equivalent resistance entre deux terminaux du réseau en étoile, lorsque le troisième terminal est maintenu ouvert.

$$ R_ {AB} = R_A + R_B $$

$$ R_ {BC} = R_B + R_C $$

$$ R_ {CA} = R_C + R_A $$

Résistances Star Network en termes de Résistances Delta Network

Nous obtiendrons les équations suivantes en assimilant les termes de droite des équations ci-dessus pour lesquelles les termes de gauche sont les mêmes.

$ R_A + R_B = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 1

$ R_B + R_C = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 2

$ R_C + R_A = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 3

En ajoutant les trois équations ci-dessus, nous obtiendrons

$$ 2 (R_A + R_B + R_C) = \ frac {2 (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$ \ Rightarrow R_A + R_B + R_C = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 4

Soustrayez l'équation 2 de l'équation 4.

$ R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} - \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

En soustrayant l'équation 3 de l'équation 4, nous obtiendrons

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

En soustrayant l'équation 1 de l'équation 4, nous obtiendrons

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

En utilisant les relations ci-dessus, nous pouvons trouver les résistances du réseau en étoile à partir des résistances du réseau delta. De cette façon, nous pouvons convertir undelta network dans une star network.

Exemple

Calculons le resistances of star network, qui sont équivalentes à celle du réseau delta comme indiqué dans la figure suivante.

Compte tenu du resistances of delta networkcomme R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω et R ₃ = 30 Ω.

On connaît les relations suivantes des résistances du réseau en étoile en termes de résistances du réseau delta.

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Remplacez les valeurs de R ₁ , R ₂ et R ₃ dans les équations ci-dessus.

$$ R_A = \ frac {10 \ fois 60} {10 + 60 + 30} = \ frac {600} {100} = 6 \ Omega $$

$$ R_B = \ frac {60 \ fois 30} {10 + 60 + 30} = \ frac {1800} {100} = 18 \ Omega $$

$$ R_C = \ frac {30 \ fois 10} {10 + 60 + 30} = \ frac {300} {100} = 3 \ Omega $$

Donc, nous avons les résistances du réseau d'étoiles comme R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω et R_C = 3 Ω, qui sont équivalentes aux résistances du réseau delta donné.