Théorie des réseaux - Réponse des circuits CA

Dans le chapitre précédent, nous avons discuté de la réponse transitoire et de la réponse en régime permanent du circuit CC. Dans ce chapitre, parlons de laresponse of AC circuit. Les concepts de réponse transitoire et de réponse en régime permanent, dont nous avons discuté dans le chapitre précédent, seront également utiles ici.

Recherche de la réponse du circuit série RL

Considérer ce qui suit series RL circuit diagramme.

Dans le circuit ci-dessus, le switch était gardé openjusqu'à t = 0 et il a été fermé à t = 0 . Ainsi, la source de tension alternative ayant une tension de crête de V m volts n'est pas connectée au circuit série RL jusqu'à cet instant. Par conséquent, il y ano initial current traverse l'inducteur.

Le schéma de circuit, lorsque le switch est dans closed position, est illustré dans la figure suivante.

Or, le courant i (t) circule dans tout le circuit, puisque la source de tension alternative ayant une tension de crête de V m volts est connectée au circuit série RL.

Nous savons que le courant i (t) circulant dans le circuit ci-dessus aura deux termes, l'un qui représente la partie transitoire et l'autre terme représente l'état stationnaire.

Mathématiquement, il peut être représenté comme

$ i (t) = i_ {Tr} (t) + i_ {ss} (t) $Equation 1

Où,

  • $ i_ {Tr} (t) $ est la réponse transitoire du courant traversant le circuit.

  • $ i_ {ss} (t) $ est la réponse en régime permanent du courant circulant dans le circuit.

Dans le chapitre précédent, nous avons obtenu la réponse transitoire du courant traversant le circuit série RL. Il se présente sous la forme $ Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $.

Remplacez $ i_ {Tr} (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $ dans l'équation 1.

$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + i_ {ss} (t) $Equation 2

Calcul du courant à l'état d'équilibre

Si un signal sinusoïdal est appliqué en tant qu'entrée à un circuit électrique linéaire, il produit une sortie en régime permanent, qui est également un sinusoidal signal. Les signaux sinusoïdaux d'entrée et de sortie auront la même fréquence, mais des amplitudes et des angles de phase différents.

Nous pouvons calculer la réponse en régime permanent d'un circuit électrique, lorsqu'il est excité par une source de tension sinusoïdale en utilisant Laplace Transform approach.

Le schéma de circuit du domaine s, lorsque le switch est dans closed position, est illustré dans la figure suivante.

Dans le circuit ci-dessus, toutes les grandeurs et paramètres sont représentés en s-domain. Ce sont les transformées de Laplace des grandeurs et paramètres du domaine temporel.

le Transfer function du circuit ci-dessus est

$$ H (s) = \ frac {I (s)} {V (s)} $$

$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {Z (s)} $$

$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {R + sL} $$

Remplacez $ s = j \ omega $ dans l'équation ci-dessus.

$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {R + j \ omega L} $$

Magnitude of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ est

$$ | H (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$

Phase angle of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ est

$$ \ angle H (j \ omega) = -tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$

Nous obtiendrons le steady state current $ i_ {ss} (t) $ en effectuant les deux étapes suivantes -

  • Multipliez la tension de crête de la tension sinusoïdale d'entrée et la magnitude de $ H (j \ omega) $.

  • Ajoutez les angles de phase de la tension sinusoïdale d'entrée et $ H (j \ omega) $.

le steady state current $ i_ {ss} (t) $ sera

$$ i_ {ss} (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Remplacez la valeur de $ i_ {ss} (t) $ dans l'équation 2.

$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 3

Nous savons qu'il n'y a pas de courant initial dans le circuit. Par conséquent, substituez t = 0 & i (t) = 0 dans l'équation 3 afin de trouver la valeur de la constante, K.

$$ 0 = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {0} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega (0) + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow K = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Remplacez la valeur de K dans l'équation 3.

$ i (t) = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 4

L'équation 4 représente le courant circulant dans le circuit série RL, lorsqu'il est excité par une source de tension sinusoïdale. Il a deux mandats. Les premier et second termes représentent respectivement la réponse transitoire et la réponse en régime permanent du courant.

nous pouvons neglect the first termde l'équation 4 parce que sa valeur sera bien inférieure à un. Ainsi, le courant résultant circulant dans le circuit sera

$$ i (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Il ne contient que le steady state term. Par conséquent, nous ne pouvons trouver que la réponse en régime permanent des circuits CA et en négliger la réponse transitoire.