Matrices de topologie de réseau

Dans le chapitre précédent, nous avons expliqué comment convertir un circuit électrique en un graphe équivalent. Maintenant, laissez-nous discuter des matrices de topologie de réseau qui sont utiles pour résoudre tout problème de circuit électrique ou de réseau en utilisant leurs graphiques équivalents.

Matrices associées aux graphes de réseau

Voici les trois matrices utilisées dans la théorie des graphes.

  • Matrice d'incidence
  • Matrice de boucle fondamentale
  • Matrice de jeu de coupe fondamentale

Matrice d'incidence

Une matrice d'incidence représente le graphique d'un circuit électrique ou d'un réseau donné. Par conséquent, il est possible de dessiner le graphique de ce même circuit électrique ou réseau à partir duincidence matrix.

Nous savons que le graphe est constitué d'un ensemble de nœuds et que ceux-ci sont reliés par quelques branches. Ainsi, la connexion des branches à un nœud est appelée incidence. La matrice d'incidence est représentée par la lettre A. Elle est également appelée matrice d'incidence de nœud à branche ounode incidence matrix.

S'il y a 'n' nœuds et 'b' branches sont présentes dans un directed graph, alors la matrice d'incidence aura «n» lignes et «b» colonnes. Ici, les lignes et les colonnes correspondent aux nœuds et aux branches d'un graphe orienté. D'où leorder de la matrice d'incidence sera n × b.

le elements of incidence matrix aura l'une de ces trois valeurs, +1, -1 et 0.

  • Si le courant de branche part d'un nœud sélectionné, la valeur de l'élément sera +1.

  • Si le courant de branche entre vers un nœud sélectionné, alors la valeur de l'élément sera -1.

  • Si le courant de branche n'entre pas à un nœud sélectionné ni ne sort d'un nœud sélectionné, alors la valeur de l'élément sera 0.

Procédure pour trouver la matrice d'incidence

Suivez ces étapes afin de trouver la matrice d'incidence du graphe orienté.

  • Sélectionnez un nœud à un instant du graphe orienté donné et remplissez les valeurs des éléments de la matrice d'incidence correspondant à ce nœud dans une ligne.

  • Répétez l'étape ci-dessus pour tous les nœuds du graphe orienté donné.

Exemple

Considérer ce qui suit directed graph.

le incidence matrix correspondant au graphique dirigé ci-dessus sera

$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$

Les lignes et colonnes de la matrice ci-dessus représentent les nœuds et les branches d'un graphe orienté donné. L'ordre de cette matrice d'incidence est 4 × 6.

En observant la matrice d'incidence ci-dessus, nous pouvons conclure que le summationdes éléments de colonne de la matrice d'incidence est égal à zéro. Cela signifie qu'un courant de branche part d'un nœud et entre à un autre nœud unique uniquement.

Note- Si le graphe donné est de type non dirigé, convertissez-le en graphe orienté en représentant les flèches sur chaque branche de celui-ci. Nous pouvons considérer la direction arbitraire du flux de courant dans chaque branche.

Matrice de boucle fondamentale

Boucle fondamentale ou f-loopest une boucle, qui ne contient qu'un seul lien et une ou plusieurs brindilles. Ainsi, le nombre de f-loops sera égal au nombre de liens. La matrice de boucle fondamentale est représentée par la lettre B. Elle est également appeléefundamental circuit matrixet matrice de jeu de liens. Cette matrice donne la relation entre les courants de branchement et les courants de liaison.

S'il y a 'n' nœuds et 'b' branches sont présentes dans un directed graph, alors le nombre de liens présents dans un co-arbre, qui correspond à l'arbre sélectionné du graphe donné sera b-n + 1.

Ainsi, la matrice de boucle fondamentale aura des lignes «b-n + 1» et des colonnes «b». Ici, les lignes et les colonnes correspondent aux liens du co-arbre et des branches d'un graphe donné. Par conséquent, l'ordre de la matrice de boucle fondamentale sera(b - n + 1) × b.

le elements of fundamental loop matrix aura l'une de ces trois valeurs, +1, -1 et 0.

  • La valeur de l'élément sera +1 pour le lien de la boucle f sélectionnée.

  • La valeur des éléments sera 0 pour les liens et brindilles restants, qui ne font pas partie de la f-loop sélectionnée.

  • Si la direction du courant de brindille de la boucle f sélectionnée est la même que celle du courant de liaison de la boucle f, alors la valeur de l'élément sera +1.

  • Si la direction du courant de brindille de la boucle f sélectionnée est opposée à celle du courant de liaison de la boucle f, alors la valeur de l'élément sera -1.

Procédure pour trouver la matrice de boucle fondamentale

Suivez ces étapes afin de trouver la matrice de boucle fondamentale d'un graphe orienté donné.

  • Sélectionnez un arbre de graphe orienté donné.

  • En incluant un lien à la fois, nous obtiendrons une f-loop. Remplissez les valeurs des éléments correspondant à cette f-boucle dans une ligne de matrice de boucle fondamentale.

  • Répétez l'étape ci-dessus pour tous les liens.

Exemple

Jetez un œil à l'Arbre de directed graph, qui est considéré pour la matrice d'incidence.

L'arbre ci-dessus contient trois branches d, e et f. Par conséquent, les branches a, b et c seront les liens du Co-Tree correspondant à l'arbre ci-dessus. En incluant un lien à la fois vers l'arbre ci-dessus, nous en obtiendrons unf-loop. Donc, il y en aura troisf-loops, car il existe trois liens. Ces trois boucles f sont illustrées dans la figure suivante.

Dans la figure ci-dessus, les branches, qui sont représentées avec des lignes colorées forment des f-boucles. Nous obtiendrons les valeurs d'élément ligne par ligne de la matrice Tie-set à partir de chaque f-loop. Alors leTieset matrix de l'arbre considéré ci-dessus sera

$$ B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \ end {bmatrix} $$

Les lignes et colonnes de la matrice ci-dessus représentent les liens et les branches d'un graphe orienté donné. L'ordre de cette matrice d'incidence est 3 × 6.

le number of Fundamental loop matricesd'un graphe orienté sera égal au nombre d'arbres de ce graphe orienté. Parce que chaque arbre aura une matrice de boucle fondamentale.

Matrice de coupe fondamentale

Ensemble de coupe fondamentale ou f-cut setest le nombre minimum de branches qui sont supprimées d'un graphe de telle sorte que le graphe d'origine devienne deux sous-graphes isolés. L'ensemble f-cut contient uniquementone twiget un ou plusieurs liens. Ainsi, le nombre d'ensembles f-cut sera égal au nombre de brindilles.

Fundamental cut set matrix est représenté par la lettre C. Cette matrice donne la relation entre les tensions de branche et les tensions de brindille.

S'il y a 'n' nœuds et 'b' branches sont présentes dans un directed graph, alors le nombre de brindilles présentes dans un arbre sélectionné d'un graphe donné sera n-1. Ainsi, la matrice d'ensemble de coupes fondamentales aura «n-1» lignes et «b» colonnes. Ici, les lignes et les colonnes correspondent aux brindilles de l'arbre sélectionné et aux branches du graphique donné. D'où leorder de la matrice d'ensemble de coupes fondamentales sera (n-1) × b.

le elements of fundamental cut set matrix aura l'une de ces trois valeurs, +1, -1 et 0.

  • La valeur de l'élément sera +1 pour la brindille du f-cutset sélectionné.

  • La valeur des éléments sera 0 pour les brindilles et liens restants, qui ne font pas partie du f-cutset sélectionné.

  • Si la direction du courant de liaison de l'ensemble f-cut sélectionné est la même que celle du courant de brindille f-cutset, alors la valeur de l'élément sera +1.

  • Si la direction du courant de liaison de l'ensemble f-cut sélectionné est opposée à celle du courant de brindille f-cutset, alors la valeur de l'élément sera -1.

Procédure pour trouver la matrice de coupe fondamentale

Suivez ces étapes afin de trouver la matrice d'ensemble de coupes fondamentale d'un graphe orienté donné.

  • Sélectionnez un arbre de graphe orienté donné et représentez les liens avec les lignes pointillées.

  • En supprimant une brindille et les liens nécessaires à la fois, nous obtiendrons un ensemble f-cut. Remplissez les valeurs des éléments correspondant à cet ensemble de coupes f dans une rangée de matrice d'ensemble de coupes fondamentales.

  • Répétez l'étape ci-dessus pour toutes les brindilles.

Exemple

Considérez la même chose directed graph , dont nous avons discuté dans la section de la matrice d'incidence. Sélectionnez les branches d, e et f de ce graphe orienté sous forme de brindilles. Ainsi, les branches restantes a, b et c de ce graphe orienté seront les liens.

le twigs d, e et f sont représentés par des lignes pleines et links a, b et c sont représentés par des lignes pointillées dans la figure suivante.

En supprimant une brindille et les liens nécessaires à la fois, nous obtiendrons un ensemble f-cut. Donc, il y aura trois ensembles f-cut, puisqu'il y a trois brindilles. Ces troisf-cut sets sont illustrés dans la figure suivante.

Nous aurons trois ensembles f-cut en supprimant un ensemble de brindilles et de liens de C 1 , C 2 et C 3 . Nous obtiendrons les valeurs d'élément par ligne de la matrice d'ensemble de coupes fondamentales à partir de chaque ensemble de coupes f. Alors lefundamental cut set matrix de l'arbre considéré ci-dessus sera

$$ C = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} $$

Les lignes et colonnes de la matrice ci-dessus représentent les brindilles et les branches d'un graphe orienté donné. L'ordre de cette matrice d'ensemble de coupes fondamentales est 3 × 6.

le number of Fundamental cut set matricesd'un graphe orienté sera égal au nombre d'arbres de ce graphe orienté. Parce que chaque arbre aura une matrice d'ensemble de coupe fondamentale.