La modulation d'amplitude
Une onde continue se déroule en continu sans aucun intervalle et c'est le signal de message en bande de base, qui contient les informations. Cette onde doit être modulée.
Selon la définition standard, "L'amplitude du signal porteur varie en fonction de l'amplitude instantanée du signal modulant." Ce qui signifie que l'amplitude du signal porteur ne contenant aucune information varie en fonction de l'amplitude du signal contenant l'information, à chaque instant. Ceci peut être bien expliqué par les chiffres suivants.
La première figure montre l'onde de modulation, qui est le signal de message. La suivante est l'onde porteuse, qui est un signal haute fréquence et ne contient aucune information. Tandis que, le dernier est l'onde modulée résultante.
On peut observer que les pics positifs et négatifs de l'onde porteuse, sont interconnectés avec une ligne imaginaire. Cette ligne permet de recréer la forme exacte du signal modulant. Cette ligne imaginaire sur l'onde porteuse est appelée commeEnvelope. C'est le même que celui du signal de message.
Expressions mathématiques
Voici les expressions mathématiques de ces ondes.
Représentation temporelle des ondes
Soit le signal modulant,
$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
et le signal porteur soit,
$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
Où,
$ A_m $ et $ A_c $ sont respectivement l'amplitude du signal modulant et du signal porteur.
$ f_m $ et $ f_c $ sont respectivement la fréquence du signal modulant et du signal porteur.
Ensuite, l'équation de l'onde modulée en amplitude sera
$ s (t) = \ left [A_c + A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ (Équation 1)
Indice de modulation
Une onde porteuse, après avoir été modulée, si le niveau modulé est calculé, alors une telle tentative est appelée Modulation Index ou Modulation Depth. Il indique le niveau de modulation qu'une onde porteuse subit.
Réorganisez l'équation 1 comme ci-dessous.
$ s (t) = A_c \ left [1+ \ left (\ frac {A_m} {A_c} \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ droite) $
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ ( Équation 2)
Où, $ \ mu $ est l'indice de modulation et il est égal au rapport de $ A_m $ et $ A_c $. Mathématiquement, nous pouvons l'écrire comme
$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ (équation 3)
Par conséquent, nous pouvons calculer la valeur de l'indice de modulation en utilisant la formule ci-dessus, lorsque les amplitudes des signaux de message et de porteuse sont connues.
Maintenant, dérivons une autre formule pour l'indice de modulation en considérant l'équation 1. Nous pouvons utiliser cette formule pour calculer la valeur de l'indice de modulation, lorsque les amplitudes maximum et minimum de l'onde modulée sont connues.
Soit $ A_ \ max $ et $ A_ \ min $ les amplitudes maximale et minimale de l'onde modulée.
Nous obtiendrons l'amplitude maximale de l'onde modulée, lorsque $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ vaut 1.
$ \ Flèche droite A_ \ max = A_c + A_m $ (Équation 4)
Nous obtiendrons l'amplitude minimale de l'onde modulée, lorsque $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ vaut -1.
$ \ Flèche droite A_ \ min = A_c - A_m $ (Équation 5)
Ajoutez l'équation 4 et l'équation 5.
$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \ Rightarrow A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ (équation 6)
Soustrayez l'équation 5 de l'équation 4.
$$ A_ \ max - A_ \ min = A_c + A_m - \ gauche (A_c -A_m \ droite) = 2A_m $$
$ \ Rightarrow A_m = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {2} $ (équation 7)
Le rapport de l'équation 7 et de l'équation 6 sera le suivant.
$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left (A_ {max} - A_ {min} \ right) / 2} {\ left (A_ {max} + A_ {min} \ right) / 2 } $$
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ (équation 8)
Par conséquent, l'équation 3 et l'équation 8 sont les deux formules de l'indice de modulation. L'indice de modulation ou la profondeur de modulation est souvent indiqué en pourcentage appelé pourcentage de modulation. Nous obtiendrons lepercentage of modulation, simplement en multipliant la valeur de l'indice de modulation par 100.
Pour une modulation parfaite, la valeur de l'indice de modulation doit être de 1, ce qui implique que le pourcentage de modulation doit être de 100%.
Par exemple, si cette valeur est inférieure à 1, c'est-à-dire que l'indice de modulation est de 0,5, alors la sortie modulée ressemblera à la figure suivante. Il est appelé commeUnder-modulation. Une telle vague est appelée comme ununder-modulated wave.
Si la valeur de l'indice de modulation est supérieure à 1, c'est-à-dire 1,5 ou plus, alors l'onde sera un over-modulated wave. Cela ressemblerait à la figure suivante.
Comme la valeur de l'indice de modulation augmente, le support subit un 180 o inversion de phase, ce qui provoque des bandes latérales supplémentaires et , par conséquent, l'onde se déforme. Une telle onde surmodulée provoque des interférences qui ne peuvent être éliminées.
Bande passante de AM Wave
Bandwidth(BW) est la différence entre les fréquences les plus élevées et les plus basses du signal. Mathématiquement, nous pouvons l'écrire comme
$$ BW = f_ {max} - f_ {min} $$
Considérons l'équation suivante d'onde modulée en amplitude.
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_c \ mu \ cos (2 \ pi f_ct) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$
$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ right) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $
Par conséquent, l'onde modulée en amplitude a trois fréquences. Ce sont la fréquence porteuse $ f_c $, la fréquence de bande latérale supérieure $ f_c + f_m $ et la fréquence de bande latérale inférieure $ f_c-f_m $
Ici,
$ f_ {max} = f_c + f_m $ et $ f_ {min} = f_c-f_m $
Remplacez les valeurs $ f_ {max} $ et $ f_ {min} $ dans la formule de bande passante.
$$ BW = f_c + f_m- \ gauche (f_c-f_m \ droite) $$
$$ \ Rightarrow BW = 2f_m $$
Ainsi, on peut dire que la bande passante requise pour l'onde modulée en amplitude est le double de la fréquence du signal modulant.
Calculs de puissance de AM Wave
Considérons l'équation suivante d'onde modulée en amplitude.
$ \ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ droite) t \ droite] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ gauche [2 \ pi \ gauche (f_c-f_m \ droite) t \ droite] $
La puissance de l'onde AM est égale à la somme des puissances des composantes de fréquence de la porteuse, de la bande latérale supérieure et de la bande latérale inférieure.
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
Nous savons que la formule standard pour la puissance du signal cos est
$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left (v_m / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {2} $$
Où,
$ v_ {rms} $ est la valeur efficace du signal cos.
$ v_m $ est la valeur de crête du signal cos.
Tout d'abord, trouvons les puissances du porteur, les bandes latérales supérieure et inférieure une par une.
Puissance porteuse
$$ P_c = \ frac {\ left (A_c / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Puissance de bande latérale supérieure
$$ P_ {USB} = \ frac {\ left (A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
De même, nous obtiendrons la puissance de la bande latérale inférieure identique à celle de la puissance de la bande latérale supérieure.
$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
Maintenant, ajoutons ces trois puissances afin d'obtenir la puissance de la vague AM.
$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \ Rightarrow P_t = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right) \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ mu ^ 2} {4} \ right) $$
$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$
Nous pouvons utiliser la formule ci-dessus pour calculer la puissance de l'onde AM, lorsque la puissance de la porteuse et l'indice de modulation sont connus.
Si l'indice de modulation $ \ mu = 1 $ alors la puissance de l'onde AM est égale à 1,5 fois la puissance de la porteuse. Ainsi, la puissance nécessaire pour transmettre une onde AM est 1,5 fois la puissance de la porteuse pour une modulation parfaite.