Communication analogique - Calculs SNR

Dans ce chapitre, calculons les rapports signal / bruit et la valeur des mérites de diverses ondes modulées, qui sont démodulées au niveau du récepteur.

Rapport signal sur bruit

Signal-to-Noise Ratio (SNR)est le rapport entre la puissance du signal et la puissance de bruit. Plus la valeur du SNR est élevée, meilleure sera la qualité de la sortie reçue.

Le rapport signal / bruit à différents points peut être calculé à l'aide des formules suivantes.

Input SNR = $ \ left (SNR \ right) _I = \ frac {Moyenne \: \: puissance \: \: sur \: \: modulant \: \: signal} {Moyenne \: \: puissance \: \: sur \: \: noise \: \: at \: \: input} $

Output SNR = $ \ left (SNR \ right) _O = \ frac {Moyenne \: \: power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: output} $

Channel SNR = $ \ left (SNR \ right) _C = \ frac {Moyenne \: \: power \: \: of \: \: modulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $

Symbole de mérite

Le rapport entre le SNR de sortie et le SNR d'entrée peut être appelé Figure of Merit. Il est désigné parF. Il décrit les performances d'un appareil.

$$ F = \ frac {\ gauche (SNR \ droite) _O} {\ gauche (SNR \ droite) _I} $$

La figure du mérite d'un séquestre est

$$ F = \ frac {\ gauche (SNR \ droite) _O} {\ gauche (SNR \ droite) _C} $$

Il en est ainsi car pour un récepteur, le canal est l'entrée.

Calculs SNR dans le système AM

Considérez le modèle de récepteur suivant du système AM pour analyser le bruit.

Nous savons que l'onde modulée en amplitude (AM) est

$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_ck_am \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

La puissance moyenne de l'onde AM est

$$ P_s = \ left (\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ $

$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$

La puissance moyenne du bruit dans la bande passante des messages est

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

Remplacez, ces valeurs dans channel SNR formule

$$ \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: AM \: \: Wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P } {2WN_0} $$

Où,

  • P est la puissance du signal de message = $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $

  • W est la bande passante du message

Supposons que le bruit passe-bande soit mélangé avec une onde AM dans le canal, comme illustré dans la figure ci-dessus. Cette combinaison est appliquée à l'entrée du démodulateur AM. Par conséquent, l'entrée du démodulateur AM est.

$$ v \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$

$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $

$ \ left [n_1 \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $

$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = \ left [A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ gauche (t \ droite) \ sin \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) $

Où $ n_I \ left (t \ right) $ et $ n_Q \ left (t \ right) $ sont en phase et en quadrature des composantes de phase du bruit.

La sortie du démodulateur AM n'est rien d'autre que l'enveloppe du signal ci-dessus.

$$ d \ left (t \ right) = \ sqrt {\ left [A_c + A_cK_am \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] ^ 2 + \ left (n_Q \ left (t \ droite) \ droite) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow d \ left (t \ right) \ approx A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) $$

La puissance moyenne du signal démodulé est

$$ P_m = \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$

La puissance moyenne du bruit à la sortie est

$$ P_no = WN_0 $$

Remplacez, ces valeurs dans output SNR formule.

$$ \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

Substitut, les valeurs dans Figure of merit de la formule du récepteur AM.

$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, AM}} {\ left (SNR \ right) _ {C, AM}} $$

$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ gauche (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ droite) P} {2WN_0} \ droite) $$

$$ \ Rightarrow F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$

Par conséquent, la valeur du mérite du récepteur AM est inférieure à un.

Calculs SNR dans le système DSBSC

Considérez le modèle de récepteur suivant du système DSBSC pour analyser le bruit.

Nous savons que l'onde modulée DSBSC est

$$ s \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

La puissance moyenne de l'onde modulée DSBSC est

$$ P_s = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$

La puissance moyenne du bruit dans la bande passante des messages est

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

Remplacez, ces valeurs dans channel SNR formule.

$$ \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: DSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Puissance \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

Supposons que le bruit passe-bande soit mélangé avec une onde modulée DSBSC dans le canal comme indiqué dans la figure ci-dessus. Cette combinaison est appliquée comme une des entrées du modulateur de produit. Par conséquent, l'entrée de ce modulateur de produit est

$$ v_1 \ gauche (t \ droite) = s \ gauche (t \ droite) + n \ gauche (t \ droite) $$

$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ left [n_I \ left (t \ right) \ cos \ left ( 2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $$

$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = \ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ gauche (t \ droite) \ sin \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) $$

L'oscillateur local génère le signal porteur $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Ce signal est appliqué comme une autre entrée au modulateur de produit. Par conséquent, le modulateur de produit produit une sortie, qui est le produit de $ v_1 \ left (t \ right) $ et $ c \ left (t \ right) $.

$$ v_2 \ gauche (t \ droite) = v_1 \ gauche (t \ droite) c \ gauche (t \ droite) $$

Remplacez les valeurs $ v_1 \ left (t \ right) $ et $ c \ left (t \ right) $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left (\ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) ) - n_Q \ gauche (t \ droite) \ sin \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) \ droite) \ cos \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) $$

$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right ) -n_Q \ gauche (t \ droite) \ sin \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) \ cos \ gauche (2 \ pi f_ct \ droite) $$

$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ left (\ frac {1+ \ cos \ left ( 4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$

Lorsque le signal ci-dessus est appliqué en tant qu'entrée au filtre passe-bas, nous obtiendrons la sortie du filtre passe-bas comme

$$ d \ left (t \ right) = \ frac {\ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right]} {2} $$

La puissance moyenne du signal démodulé est

$$ P_m = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$

La puissance moyenne du bruit à la sortie est

$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$

Remplacez, ces valeurs dans output SNR formule.

$$ \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right) / \ left (\ frac {WN_0 } {4} \ right) = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$

Substitut, les valeurs dans Figure of merit de la formule du récepteur DSBSC.

$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC}} $$

$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ droite) $$

$$ \ Flèche droite F = 1 $$

Par conséquent, la valeur du mérite du récepteur DSBSC est 1.

Calculs SNR dans le système SSBSC

Considérez le modèle de récepteur suivant du système SSBSC pour analyser le bruit.

Nous savons que l'onde modulée SSBSC ayant une bande latérale inférieure est

$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $$

La puissance moyenne de l'onde modulée SSBSC est

$$ P_s = \ left (\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$

La puissance moyenne du bruit dans la bande passante des messages est

$$ P_ {nc} = WN_0 $$

Remplacez, ces valeurs dans channel SNR formule.

$$ \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: SSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Puissance \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$

Supposons que le bruit passe-bande soit mélangé avec une onde modulée SSBSC dans le canal, comme illustré dans la figure ci-dessus. Cette combinaison est appliquée comme une des entrées du modulateur de produit. Par conséquent, l'entrée de ce modulateur de produit est

$$ v_1 \ gauche (t \ droite) = s \ gauche (t \ droite) + n \ gauche (t \ droite) $$

$$ v_1 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] + n_I \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

L'oscillateur local génère le signal porteur $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $. Ce signal est appliqué comme une autre entrée au modulateur de produit. Par conséquent, le modulateur de produit produit une sortie, qui est le produit de $ v_1 \ left (t \ right) $ et $ c \ left (t \ right) $.

$$ v_2 \ gauche (t \ droite) = v_1 \ gauche (t \ droite) c \ gauche (t \ droite) $$

Remplacez les valeurs $ v_1 \ left (t \ right) $ et $ c \ left (t \ right) $ dans l'équation ci-dessus.

$ \ Rightarrow v_2 (t) = (\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi (f_c-f_m) t] + n_I (t) \ cos (2 \ pi f_ct) - $

$ n_Q (t) \ sin (2 \ pi f_ct)) \ cos (2 \ pi f_ct) $

$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ droite) + $

$ n_I \ left (t \ right) \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ droite) $

$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left (2f_c-f_m \ right) t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ droite) \ droite \} + $

$ n_I \ left (t \ right) \ left (\ frac {1+ \ cos \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ gauche (4 \ pi f_ct \ droite)} {2} $

Lorsque le signal ci-dessus est appliqué en tant qu'entrée au filtre passe-bas, nous obtiendrons la sortie du filtre passe-bas comme

$$ d \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) + \ frac {n_I \ left (t \ right)} {2} $$

La puissance moyenne du signal démodulé est

$$ P_m = \ left (\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$

La puissance moyenne du bruit à la sortie est

$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$

Remplacez, ces valeurs dans output SNR formule

$$ \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: output} $$

$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right ) / \ left (\ frac {WN_0} {4} \ right) = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$

Substitut, les valeurs dans Figure of merit de la formule du récepteur SSBSC

$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC}} $$

$$ F = \ gauche (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ droite) / \ gauche (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) $$

$$ F = 1 $$

Par conséquent, la valeur du mérite du récepteur SSBSC est 1.