Convolution et corrélation

Convolution

La convolution est une opération mathématique utilisée pour exprimer la relation entre l'entrée et la sortie d'un système LTI. Il relie l'entrée, la sortie et la réponse impulsionnelle d'un système LTI comme

$$ y (t) = x (t) * h (t) $$

Où y (t) = sortie de LTI

x (t) = entrée de LTI

h (t) = réponse impulsionnelle du LTI

Il existe deux types de convolutions:

  • Convolution continue

  • Convolution discrète

Convolution continue

$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

(ou)

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $

Convolution discrète

$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $

(ou)

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $

En utilisant la convolution, nous pouvons trouver une réponse d'état zéro du système.

Déconvolution

La déconvolution est un processus inverse à la convolution largement utilisé dans le traitement du signal et de l'image.

Propriétés de la convolution

Propriété commutative

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Propriété distributive

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $

Propriété associative

$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Propriété changeante

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Convolution avec impulsion

$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $

$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $

Convolution des étapes de l'unité

$ u (t) * u (t) = r (t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $

Propriété de mise à l'échelle

Si $ x (t) * h (t) = y (t) $

alors $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $

Différenciation de la production

si $ y (t) = x (t) * h (t) $

alors $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $

ou

$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $

Note:

  • La convolution de deux séquences causales est causale.

  • La convolution de deux séquences anti-causales est anti-causale.

  • La convolution de deux rectangles de longueur inégale donne un trapèze.

  • La convolution de deux rectangles de même longueur donne un triangle.

  • Une fonction alambiquée elle-même est égale à l'intégration de cette fonction.

Example: Vous savez que $ u (t) * u (t) = r (t) $

Selon la note ci-dessus, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $

Ici, vous obtenez le résultat simplement en intégrant $ u (t) $.

Limites du signal alambiqué

Si deux signaux sont convolués, le signal convoluté résultant a la plage suivante:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Ex: trouvez la plage de convolution des signaux donnée ci-dessous

Ici, nous avons deux rectangles de longueur inégale à convoluer, ce qui donne un trapèze.

La plage du signal alambiqué est:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

-1 $ + -2 <t <2 + 2 $

-3 $ <t <4 $

Le résultat est donc un trapèze avec une période 7.

Zone de signal alambiqué

La zone sous signal alambiqué est donnée par $ A_y = A_x A_h $

Où A x = zone sous le signal d'entrée

A h = aire sous réponse impulsionnelle

A y = zone sous le signal de sortie

Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

Prenez l'intégration des deux côtés

$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $

$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $

Nous savons que la zone de tout signal est l'intégration de ce signal lui-même.

$ \ donc A_y = A_x \, ​​A_h $

Composant DC

La composante continue de tout signal est donnée par

$ \ text {DC component} = {\ text {zone du signal} \ over \ text {période du signal}} $

Ex: quelle est la composante continue du signal convoluté résultant donné ci-dessous?

Ici aire de x 1 (t) = longueur × largeur = 1 × 3 = 3

aire de x 2 (t) = longueur × largeur = 1 × 4 = 4

aire du signal convoluté = aire de x 1 (t) × aire de x 2 (t)

= 3 × 4 = 12

Durée du signal convoluté = somme des limites inférieures <t <somme des limites supérieures

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$ \ donc $ Composante Dc du signal alambiqué = $ \ text {zone du signal} \ over \ text {période du signal} $

Composant Dc = $ {12 \ over 7} $

Convolution discrète

Voyons comment calculer la convolution discrète:

i. To calculate discrete linear convolution:

Convolute deux séquences x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Sortie alambiquée = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: si deux séquences quelconques ont respectivement m, n nombre d'échantillons, alors la séquence contournée résultante aura [m + n-1] échantillons.

Example: Convolute deux séquences x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Sortie alambiquée y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Ici, x [n] contient 3 échantillons et h [n] a également 3 échantillons, donc la séquence résultante a 3 + 3-1 = 5 échantillons.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

La convolution périodique est valide pour la transformée de Fourier discrète. Pour calculer la convolution périodique, tous les échantillons doivent être réels. La convolution périodique ou circulaire est également appelée convolution rapide.

Si deux séquences de longueur m, n respectivement sont convoluées en utilisant une convolution circulaire, alors la séquence résultante ayant max [m, n] échantillons.

Ex: convolute deux séquences x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} en utilisant la convolution circulaire

Sortie alambiquée normale y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Ici x [n] contient 3 échantillons et h [n] a également 3 échantillons. Ainsi, la séquence résultante obtenue par convolution circulaire doit avoir max [3,3] = 3 échantillons.

Maintenant, pour obtenir un résultat de convolution périodique, les 3 premiers échantillons [car la période est de 3] de la convolution normale sont identiques, les deux échantillons suivants sont ajoutés aux premiers échantillons comme indiqué ci-dessous:

$ \ donc $ Résultat de la convolution circulaire $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

Corrélation

La corrélation est une mesure de la similitude entre deux signaux. La formule générale de corrélation est

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$

Il existe deux types de corrélation:

  • Corrélation automatique

  • Corrélation Cros

Fonction de corrélation automatique

Il est défini comme la corrélation d'un signal avec lui-même. La fonction de corrélation automatique est une mesure de la similitude entre un signal et sa version temporisée. Il est représenté par R ($ \ tau $).

Considérons a signaux x (t). La fonction d'auto-corrélation de x (t) avec sa version temporisée est donnée par

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Où $ \ tau $ = paramètre de recherche ou de balayage ou de délai.

Si le signal est complexe, la fonction d'auto-corrélation est donnée par

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$

Propriétés de la fonction d'autocorrélation du signal d'énergie

  • L'auto-corrélation présente une symétrie conjuguée c'est-à-dire R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)

  • La fonction d'auto-corrélation du signal d'énergie à l'origine c'est-à-dire à $ \ tau $ = 0 est égale à l'énergie totale de ce signal, qui est donnée par:

    R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $

  • Fonction de corrélation automatique $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La fonction d'auto-corrélation est maximale à $ \ tau $ = 0 ie | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $

  • La fonction d'auto-corrélation et les densités spectrales d'énergie sont des paires de transformées de Fourier. c'est à dire

    $ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $

    $ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Fonction de corrélation automatique des signaux de puissance

La fonction d'auto-corrélation du signal de puissance périodique de période T est donnée par

$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$

Propriétés

  • L'auto-corrélation du signal de puissance présente une symétrie conjuguée, c'est-à-dire $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $

  • La fonction d'auto-corrélation du signal de puissance à $ \ tau = 0 $ (à l'origine) est égale à la puissance totale de ce signal. c'est à dire

    $ R (0) = \ rho $

  • Fonction de corrélation automatique du signal de puissance $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • La fonction de corrélation automatique du signal de puissance est maximale à $ \ tau $ = 0 c'est-à-dire,

    $ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • La fonction d'auto-corrélation et les densités spectrales de puissance sont des paires de transformées de Fourier. c'est à dire,

    $ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $

    $ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $

Spectre de densité

Voyons les spectres de densité:

Spectre de densité d'énergie

Le spectre de densité d'énergie peut être calculé à l'aide de la formule:

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$

Spectre de densité de puissance

Le spectre de densité de puissance peut être calculé en utilisant la formule:

$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$

Fonction de corrélation croisée

La corrélation croisée est la mesure de la similitude entre deux signaux différents.

Considérons deux signaux x 1 (t) et x 2 (t). La corrélation croisée de ces deux signaux $ R_ {12} (\ tau) $ est donnée par

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Si les signaux sont complexes, alors

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

Propriétés de la fonction de corrélation croisée des signaux d'énergie et de puissance

  • L'auto-corrélation présente une symétrie conjuguée, c'est-à-dire $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.

  • La corrélation croisée n'est pas commutative comme la convolution ie

    $$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$

  • Si R 12 (0) = 0 signifie, si $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, alors les deux signaux sont dits orthogonaux.

    Pour le signal d'alimentation if $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ alors deux signaux sont dits orthogonaux.

  • La fonction de corrélation croisée correspond à la multiplication des spectres d'un signal au conjugué complexe du spectre d'un autre signal. c'est à dire

    $$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$

    Ceci également appelé théorème de corrélation.

Théorème de Parseval

Le théorème de Parseval pour les signaux d'énergie stipule que l'énergie totale d'un signal peut être obtenue par le spectre du signal comme

$ E = {1 \ sur 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $

Note: Si un signal a de l'énergie E, alors la version à échelle temporelle de ce signal x (at) a l'énergie E / a.