Transformées de Fourier

Le principal inconvénient de la série de Fourier est qu'elle n'est applicable qu'aux signaux périodiques. Il existe des signaux produits naturellement tels que non périodiques ou apériodiques, que nous ne pouvons pas représenter en utilisant la série de Fourier. Pour surmonter cette lacune, Fourier a développé un modèle mathématique pour transformer les signaux entre le domaine temporel (ou spatial) en domaine fréquentiel et vice versa, qui est appelé «transformée de Fourier».

La transformée de Fourier a de nombreuses applications en physique et en ingénierie telles que l'analyse des systèmes LTI, RADAR, l'astronomie, le traitement du signal, etc.

Dérivation de la transformée de Fourier à partir de la série de Fourier

Considérons un signal périodique f (t) de période T.La représentation complexe en série de Fourier de f (t) est donnée par

$$ f (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j {2 \ pi \ over T_0} kt} ... ... (1 ) $$

Soit $ {1 \ over T_0} = \ Delta f $, alors l'équation 1 devient

$ f (t) = \ somme_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} ... ... (2) $

mais tu sais que

    $ a_k = {1 \ sur T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $

Remplacez l'équation 2.

(2) $ \ Rightarrow f (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {1 \ over T_0} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jk \ omega_0 t} dt \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft} $

Soit $ t_0 = {T \ over2} $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \ , e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f $

Dans la limite de $ T \ à \ infty, \ Delta f $ s'approche du différentiel $ df, k \ Delta f $ devient une variable continue $ f $, et la somme devient intégration

$$ f (t) = lim_ {T \ to \ infty} ⁡ \ left \ {\ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- T \ over2} ^ {T \ over2} f (t) e ^ {- j2 \ pi k \ Delta ft} dt] \, e ^ {j2 \ pi k \ Delta ft}. \ Delta f \ right \} $$

$$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] e ^ {j2 \ pi ft} df $$

$$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

$ \ text {Où} \, F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt] $

Transformée de Fourier d'un signal $$ f (t) = F [\ omega] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, f (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $$

La transformation de Fourier inverse est $$ f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, F [\ omega] e ^ {j \ omega t} d \ omega $$

Transformée de Fourier des fonctions de base

Passons en revue la transformée de Fourier des fonctions de base:

FT de la fonction GATE

$$ F [\ omega] = AT Sa ({\ omega T \ over 2}) $$


FT de la fonction d'impulsion

$ FT [\ omega (t)] = [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- j \ omega t} dt] $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {- j \ omega t} \, | \, t = 0 $

$ \ quad \ quad \ quad \ quad = e ^ {0} = 1 $

$ \ quad \ donc \ delta (\ omega) = 1 $


FT de la fonction d'étape de l'unité:

$ U (\ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + 1 / j \ omega $


FT des exponentiels

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ jω) $

$ e ^ {- at} u (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} 1 / (a ​​+ j \ omega) $

$ e ^ {- a \, | \, t \, |} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2a \ over {a ^ 2 + ω ^ 2}} $

$ e ^ {j \ omega_0 t} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} \ delta (\ omega - \ omega_0) $


FT de la fonction Signum

$ sgn (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {2 \ over j \ omega} $

Conditions d'existence de la transformée de Fourier

Toute fonction f (t) peut être représentée en utilisant la transformée de Fourier uniquement lorsque la fonction satisfait les conditions de Dirichlet. c'est à dire

  • La fonction f (t) a un nombre fini de maxima et de minima.

  • Il doit y avoir un nombre fini de discontinuités dans le signal f (t), dans l'intervalle de temps donné.

  • Il doit être absolument intégrable dans l'intervalle de temps donné ie

    $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, f (t) | \, dt <\ infty $

Transformées de Fourier en temps discret (DTFT)

La transformée de Fourier en temps discret (DTFT) ou la transformée de Fourier d'une séquence en temps discret x [n] est une représentation de la séquence en termes de la séquence exponentielle complexe $ e ^ {j \ omega n} $.

La séquence DTFT x [n] est donnée par

$$ X (\ omega) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) e ^ {- j \ omega n} \, \, ... \, ... (1) $$

Ici, X (ω) est une fonction complexe de la variable de fréquence réelle ω et elle peut s'écrire

$$ X (\ omega) = X_ {re} (\ omega) + jX_ {img} (\ omega) $$

Où X re (ω), X img (ω) sont respectivement des parties réelle et imaginaire de X (ω).

$$ X_ {re} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ cos \ theta (\ omega) $$

$$ X_ {img} (\ omega) = | \, X (\ omega) | \ sin \ theta (\ omega) $$

$$ | X (\ omega) | ^ 2 = | \, X_ {re} (\ omega) | ^ 2 + | \, X_ {im} (\ omega) | ^ 2 $$

Et X (ω) peut aussi être représenté par $ X (\ omega) = | \, X (\ omega) | e ^ {j \ theta (ω)} $

Où $ \ theta (\ omega) = arg {X (\ omega)} $

$ | \, X (\ omega) |, \ theta (\ omega) $ sont appelés spectres de magnitude et de phase de X (ω).

Transformée de Fourier en temps discret inverse

$$ x (n) = {1 \ sur 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X (\ omega) e ^ {j \ omega n} d \ omega \, \, ... \, ... (2) $$

Condition de convergence:

La série infinie dans l'équation 1 peut être convergente ou non. x (n) est absolument sommable.

$$ \ text {quand} \, \, \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | \, x (n) | \, <\ infty $$

Une séquence absolument sommable a toujours une énergie finie mais une séquence d'énergie finie ne doit pas nécessairement être absolument sommable.