Propriétés de la série de Fourier

Voici les propriétés de la série de Fourier:

Propriété de linéarité

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {yn} $

alors la propriété de linéarité indique que

$ \ text {a} \, x (t) + \ text {b} \, y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} \ text {a} \, f_ {xn} + \ text {b} \, f_ {yn} $

Propriété de décalage temporel

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

alors la propriété de décalage temporel indique que

$ x (t-t_0) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coefficient} e ^ {- jn \ omega_0 t_0} f_ {xn} $

Propriété de décalage de fréquence

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

alors la propriété de décalage de fréquence indique que

$ e ^ {jn \ omega_0 t_0}. x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {x (n-n_0)} $

Propriété d'inversion de temps

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

alors la propriété d'inversion de temps indique que

Si $ x (-t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f _ {- xn} $

Propriété d'échelle de temps

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

puis la propriété de mise à l'échelle du temps indique que

Si $ x (at) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

La propriété de mise à l'échelle temporelle change les composantes de fréquence de $ \ omega_0 $ à $ a \ omega_0 $.

Propriétés de différenciation et d'intégration

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

alors la propriété de différenciation indique que

Si $ {dx (t) \ over dt} \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} jn \ omega_0. f_ {xn} $

& propriété d'intégration indique que

Si $ \ int x (t) dt \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} {f_ {xn} \ over jn \ omega_0} $

Propriétés de multiplication et de convolution

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {yn} $

alors la propriété de multiplication indique que

$ x (t). y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} T f_ {xn} * f_ {yn} $

& la propriété de convolution indique que

$ x (t) * y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coefficient} T f_ {xn}. f_ {yn} $

Propriétés de symétrie conjuguée et conjuguée

Si $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f_ {xn} $

Ensuite, la propriété conjuguée indique que

$ x * (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coefficient} f * _ {xn} $

La propriété de symétrie conjuguée pour le signal de temps réel indique que

$$ f * _ {xn} = f _ {- xn} $$

& La propriété de symétrie conjuguée pour le signal temporel imaginaire indique que

$$ f * _ {xn} = -f _ {- xn} $$