Transformations en Z (ZT)

L'analyse des systèmes LTI en temps continu peut être effectuée à l'aide de transformées en z. C'est un outil mathématique puissant pour convertir des équations différentielles en équations algébriques.

La transformée z bilatérale (bilatérale) d'un signal temporel discret x (n) est donnée par

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La transformée z unilatérale (unilatérale) d'un signal temporel discret x (n) est donnée par

$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $

La transformée en Z peut exister pour certains signaux pour lesquels la transformée de Fourier en temps discret (DTFT) n'existe pas.

Concept de Z-Transform et Inverse Z-Transform

La transformée en Z d'un signal de temps discret x (n) peut être représentée par X (Z), et elle est définie comme

$ X (Z) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, ... \, ... \, (1) $

Si $ Z = re ^ {j \ omega} $ alors l'équation 1 devient

$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $

$ = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $

$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, ... \, ... \, (2) $

L'équation ci-dessus représente la relation entre la transformée de Fourier et la transformée en Z.

$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $

Transformée en Z inversée

$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $

$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}] $

$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})] $

$ = r ^ n {1 \ sur 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $

$ = {1 \ sur 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, ... \, ... \, (3) $

Remplacez $ re ^ {j \ omega} = z $.

$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $

$ d \ omega = {1 \ sur j} z ^ {- 1} dz $

Remplacez l'équation 3.

$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $