Théorème d'échantillonnage des signaux

Statement:Un signal de temps continu peut être représenté dans ses échantillons et peut être récupéré en arrière lorsque la fréquence d' échantillonnage f s est supérieur ou égal au double de la composante de la plus haute fréquence du signal de message. c'est à dire

$$ f_s \ geq 2 f_m. $$

Proof:Considérons un signal de temps continu x (t). Le spectre de x (t) est une bande limitée à f m Hz c'est-à-dire que le spectre de x (t) est nul pour | ω |> ω m .

L'échantillonnage du signal d'entrée x (t) peut être obtenu en multipliant x (t) par un train d'impulsions δ (t) de période T s . La sortie du multiplicateur est un signal discret appelé signal échantillonné qui est représenté par y (t) dans les schémas suivants:

Ici, vous pouvez observer que le signal échantillonné prend la période d'impulsion. Le processus d'échantillonnage peut être expliqué par l'expression mathématique suivante:

$ \ text {Signal échantillonné} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $

La représentation trigonométrique en série de Fourier de $ \ delta $ (t) est donnée par

$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_s t + b_n \ sin⁡ n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $

Où $ a_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) dt = {1 \ over T_s} \ delta (0) = {1 \ over T_s } $

$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ sur T} $

$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin⁡ n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin⁡ n \ omega_s 0 = 0 $

Remplacez les valeurs ci-dessus dans l'équation 2.

$ \ donc \, \ delta (t) = {1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos ⁡ n \ omega_s t + 0) $

Remplacez δ (t) dans l'équation 1.

$ \ à y (t) = x (t). \ delta (t) $

$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $

$ = {1 \ sur T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $

$ y (t) = {1 \ sur T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $

Prenez la transformée de Fourier des deux côtés.

$ Y (\ omega) = {1 \ over T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $

$ \ donc \, \, Y (\ omega) = {1 \ over T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad où \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $

Pour reconstruire x (t), vous devez récupérer le spectre du signal d'entrée X (ω) à partir du spectre du signal échantillonné Y (ω), ce qui est possible lorsqu'il n'y a pas de chevauchement entre les cycles de Y (ω).

La possibilité d'un spectre de fréquences échantillonné avec différentes conditions est donnée par les schémas suivants:

Effet d'aliasing

La région superposée en cas de sous-échantillonnage représente un effet d'alias, qui peut être supprimé par

  • considérant f s > 2f m

  • En utilisant des filtres anti-aliasing.