Transformations de Laplace (LT)
La transformée complexe de Fourier est également appelée transformée de Laplace bilatérale. Ceci est utilisé pour résoudre des équations différentielles. Considérons un système LTI sorti par un signal exponentiel complexe de la forme x (t) = Ge st .
Où s = tout nombre complexe = $ \ sigma + j \ omega $,
σ = réel de s, et
ω = imaginaire de s
La réponse de LTI peut être obtenue par la convolution de l'entrée avec sa réponse impulsionnelle ie
$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $
$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $
$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $
Où H (S) = transformée de Laplace de $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $
De même, la transformée de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $
Relation entre Laplace et les transformées de Fourier
Transformée de Laplace de $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $
Remplacez s = σ + jω dans l'équation ci-dessus.
$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $
$ \ donc X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $
$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad pour \, \, s = j \ omega $
Transformation de Laplace inversée
Vous savez que $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $
$ \ à x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $
$ = {1 \ sur 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ sur 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $
Ici, $ \ sigma + j \ omega = s $
$ jdω = ds → dω = ds / j $
$ \ donc x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $
Les équations 1 et 4 représentent la transformée de Laplace et de Laplace inverse d'un signal x (t).
Conditions d'existence de la transformation de Laplace
Les conditions de Dirichlet sont utilisées pour définir l'existence de la transformée de Laplace. c'est à dire
La fonction f (t) a un nombre fini de maxima et minima.
Il doit y avoir un nombre fini de discontinuités dans le signal f (t), dans l'intervalle de temps donné.
Il doit être absolument intégrable dans l'intervalle de temps donné. c'est à dire
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $
Théorèmes des valeurs initiale et finale
Si la transformée de Laplace d'une fonction inconnue x (t) est connue, alors il est possible de déterminer les valeurs initiales et finales de ce signal inconnu, c'est-à-dire x (t) à t = 0 + et t = ∞.
Théorème de la valeur initiale
Statement: si x (t) et sa 1ère dérivée est transformable de Laplace, alors la valeur initiale de x (t) est donnée par
$$ x (0 ^ +) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$
Théorème de la valeur finale
Statement: si x (t) et sa 1ère dérivée est transformable de Laplace, alors la valeur finale de x (t) est donnée par
$$ x (\ infty) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$