Propriétés de Laplace Transforms

Les propriétés de la transformée de Laplace sont:

Propriété de linéarité

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

& $ \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Alors la propriété de linéarité indique que

$ ax (t) + par (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} a X (s) + b Y (s) $


Propriété de décalage temporel

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Ensuite, la propriété de décalage temporel indique que

$ x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- st_0} X (s) $


Propriété de décalage de fréquence

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Ensuite, la propriété de décalage de fréquence indique que

$ e ^ {s_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s-s_0) $


Propriété d'inversion de temps

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Ensuite, la propriété d'inversion de temps indique que

$ x (-t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (-s) $


Propriété d'échelle de temps

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Ensuite, la propriété de mise à l'échelle du temps indique que

$ x (at) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over | a |} X ({s \ over a}) $


Propriétés de différenciation et d'intégration

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

Ensuite, la propriété de différenciation indique que

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} s. X (s) - s. X (0) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} (s) ^ n. X (s) $

La propriété d'intégration indique que

$ \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s} X (s) $

$ \ iiint \, ... \, \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s ^ n} X (s) $


Propriétés de multiplication et de convolution

Si $ \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) $

et $ y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s) $

Ensuite, la propriété de multiplication indique que

$ x (t). y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi j} X (s) * Y (s) $

La propriété de convolution indique que

$ x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) .Y (s) $