Région de convergence (ROC)
La variation de plage de σ pour laquelle converge la transformée de Laplace est appelée région de convergence.
Propriétés du ROC de Laplace Transform
ROC contient des lignes de bande parallèles à l'axe jω dans le plan s.
Si x (t) est absolument intégral et qu'il est de durée finie, alors ROC est un plan s entier.
Si x (t) est une suite du côté droit, alors ROC: Re {s}> σ o .
Si x (t) est une suite du côté gauche, alors ROC: Re {s} <σ o .
Si x (t) est une séquence à deux côtés, alors ROC est la combinaison de deux régions.
Le ROC peut être expliqué en utilisant les exemples ci-dessous:
Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$
$ LT [x (t)] = LT [e - ^ {at} u (t)] = {1 \ sur S + a} $
$ Re {} \ gt -a $
$ ROC: Re {s} \ gt> -a $
Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {at} u (t)] = {1 \ over Sa} $
$ Re {s} <a $
$ ROC: Re {s} <a $
Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$
$ LT [x (t)] = LT [e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $
Pour $ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $
Pour $ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $
En se référant au diagramme ci-dessus, la région de combinaison se situe entre –a et a. Par conséquent,
$ ROC: -a <Re {s} <a $
Causalité et stabilité
Pour qu'un système soit causal, tous les pôles de sa fonction de transfert doivent être la moitié droite du plan s.
Un système est dit stable lorsque tous les pôles de sa fonction de transfert se trouvent sur la moitié gauche du plan s.
Un système est dit instable lorsqu'au moins un pôle de sa fonction de transfert est décalé vers la moitié droite du plan s.
Un système est dit marginalement stable lorsqu'au moins un pôle de sa fonction de transfert se trouve sur l'axe jω du plan s.
ROC des fonctions de base
| f (t) | F (s) | ROC |
|---|---|---|
| $ u (t) $ | $$ {1 \ over s} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ t \, u (t) $ | $$ {1 \ over s ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ t ^ n \, u (t) $ | $$ {n! \ over s ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> 0 |
| $ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ e ^ {- à} \, u (t) $ | $$ {1 \ sur s + a} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ e ^ {at} \, u (t) $ | $$ - {1 \ over sa} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ e ^ {- à} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over s + a} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ t \, e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ t ^ {n} e ^ {at} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> a |
| $ t \, e ^ {- à} \, u (t) $ | $$ {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ t ^ n \, e ^ {- à} \, u (t) $ | $$ {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s}> -a |
| $ t \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (sa) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ t ^ n \, e ^ {at} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (sa) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <a |
| $ t \, e ^ {- à} \, u (-t) $ | $$ - {1 \ over (s + a) ^ 2} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ t ^ n \, e ^ {- à} \, u (-t) $ | $$ - {n! \ over (s + a) ^ {n + 1}} $$ | ROC: Re {s} <-a |
| $ e ^ {- à} \ cos \, bt $ | $$ {s + a \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ | |
| $ e ^ {- à} \ sin \, bt $ | $$ {b \ over (s + a) ^ 2 + b ^ 2} $$ |