Transformation de Hilbert

La transformée de Hilbert d'un signal x (t) est définie comme la transformée dans laquelle l'angle de phase de toutes les composantes du signal est décalé de $ \ pm \ text {90} ^ o $.

La transformée de Hilbert de x (t) est représentée par $ \ hat {x} (t) $, et elle est donnée par

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

La transformée de Hilbert inverse est donnée par

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

x (t), $ \ hat {x} $ (t) est appelé une paire de transformées de Hilbert.

Propriétés de la transformation de Hilbert

Un signal x (t) et sa transformée de Hilbert $ \ hat {x} $ (t) ont

• Le même spectre d'amplitude.

• La même fonction d'autocorrélation.

• La densité spectrale d'énergie est la même pour x (t) et $ \ hat {x} $ (t).

• x (t) et $ \ hat {x} $ (t) sont orthogonaux.

• La transformée de Hilbert de $ \ hat {x} $ (t) est -x (t)

• Si une transformée de Fourier existe, alors la transformée de Hilbert existe également pour les signaux d'énergie et de puissance.