DSP - Classification des signaux CT

Les signaux de temps continu peuvent être classés selon différentes conditions ou opérations effectuées sur les signaux.

Signaux pairs et impairs

Signal uniforme

Un signal est dit égal s'il satisfait à la condition suivante;

$$ x (-t) = x (t) $$

L'inversion temporelle du signal n'implique ici aucun changement d'amplitude. Par exemple, considérons l'onde triangulaire ci-dessous.

Le signal triangulaire est un signal pair. Depuis, il est symétrique par rapport à l'axe Y. Nous pouvons dire que c'est une image miroir autour de l'axe Y.

Considérez un autre signal comme indiqué dans la figure ci-dessous.

Nous pouvons voir que le signal ci-dessus est égal car il est symétrique par rapport à l'axe Y.

Signal étrange

Un signal est dit impair s'il satisfait à la condition suivante

$$ x (-t) = -x (t) $$

Ici, l'inversion de temps et le changement d'amplitude ont lieu simultanément.

Dans la figure ci-dessus, nous pouvons voir un signal de pas x (t). Pour tester s'il s'agit d'un signal impair ou non, nous procédons d'abord à l'inversion du temps, c'est-à-dire x (-t) et le résultat est comme indiqué sur la figure. Ensuite, nous inversons l'amplitude du signal résultant, c'est-à-dire –x (-t) et nous obtenons le résultat comme indiqué sur la figure.

Si nous comparons la première et la troisième forme d'onde, nous pouvons voir qu'elles sont identiques, c'est-à-dire x (t) = -x (-t), ce qui satisfait nos critères. Par conséquent, le signal ci-dessus est un signal impair.

Quelques résultats importants liés aux signaux pairs et impairs sont donnés ci-dessous.

  • Pair × Pair = Pair
  • Impair × Impair = Pair
  • Pair × Impair = Impair
  • Paire ± Paire = Paire
  • Impair ± Impair = Impair
  • Pair ± Impair = Ni pair ni impair

Représentation de tout signal sous forme paire ou impaire

Certains signaux ne peuvent pas être directement classés en type pair ou impair. Ceux-ci sont représentés comme une combinaison de signaux pairs et impairs.

$$ x (t) \ rightarrow x_ {e} (t) + x_ {0} (t) $$

Où x e (t) représente le signal pair et x o (t) représente le signal impair

$$ x_ {e} (t) = \ frac {[x (t) + x (-t)]} {2} $$

Et

$$ x_ {0} (t) = \ frac {[x (t) -x (-t)]} {2} $$

Exemple

Trouvez les parties paires et impaires du signal $ x (n) = t + t ^ {2} + t ^ {3} $

Solution - En inversant x (n), on obtient

$$ x (-n) = -t + t ^ {2} -t ^ {3} $$

Maintenant, selon la formule, la partie paire

$$ x_ {e} (t) = \ frac {x (t) + x (-t)} {2} $$

$$ = \ frac {[(t + t ^ {2} + t ^ {3}) + (- t + t ^ {2} -t ^ {3})]} {2} $$

$$ = t ^ {2} $$

De même, selon la formule, la partie impaire est

$$ x_ {0} (t) = \ frac {[x (t) -x (-t)]} {2} $$

$$ = \ frac {[(t + t ^ {2} + t ^ {3}) - (- t + t ^ {2} -t ^ {3})]} {2} $$

$$ = t + t ^ {3} $$

Signaux périodiques et non périodiques

Signaux périodiques

Le signal périodique se répète après un certain intervalle de temps. Nous pouvons le montrer sous forme d'équation comme -

$$ x (t) = x (t) \ pm nT $$

Où, n = un entier (1,2,3 ……)

T = Période de temps fondamentale (FTP) ≠ 0 et ≠ ∞

La période de temps fondamentale (FTP) est la plus petite valeur de temps positive et fixe pour laquelle le signal est périodique.

Un signal triangulaire est représenté sur la figure ci-dessus d'amplitude A. Ici, le signal se répète toutes les 1 s. Par conséquent, on peut dire que le signal est périodique et que son FTP est de 1 s.

Signal non périodique

Simplement, on peut dire que les signaux, qui ne sont pas périodiques, sont de nature non périodique. Comme évident, ces signaux ne se répéteront pas après un intervalle de temps.

Les signaux non périodiques ne suivent pas un certain format; par conséquent, aucune équation mathématique particulière ne peut les décrire.

Signaux d'énergie et de puissance

Un signal est dit un signal d'énergie, si et seulement si, l'énergie totale contenue est finie et non nulle (0 <E <∞). Par conséquent, pour tout signal de type d'énergie, le signal normalisé total est fini et non nul.

Un signal de courant alternatif sinusoïdal est un exemple parfait de signal de type énergie car il est en demi-cycle positif dans un cas, puis négatif dans le demi-cycle suivant. Par conséquent, sa puissance moyenne devient nulle.

Un condensateur sans perte est également un exemple parfait de signal de type énergie car lorsqu'il est connecté à une source, il se charge jusqu'à son niveau optimal et lorsque la source est supprimée, il dissipe cette quantité égale d'énergie à travers une charge et rend sa puissance moyenne à zéro.

Pour tout signal fini x (t), l'énergie peut être symbolisée par E et s'écrit;

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x ^ {2} (t) dt $$

La densité spectrale des signaux de type énergie donne la quantité d'énergie distribuée à différents niveaux de fréquence.

Signaux de type d'alimentation

Un signal est dit signal de type puissance, si et seulement si, la puissance moyenne normalisée est finie et non nulle, c'est-à-dire (0 <p <∞). Pour un signal de type puissance, la puissance moyenne normalisée est finie et non nulle. Presque tous les signaux périodiques sont des signaux de puissance et leur puissance moyenne est finie et non nulle.

Sous forme mathématique, la puissance d'un signal x (t) peut s'écrire;

$$ P = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} 1 / T \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} x ^ {2} (t) dt $$

Différence entre les signaux d'énergie et de puissance

Le tableau suivant résume les différences entre les signaux d'énergie et de puissance.

Signal de puissance Signal d'énergie
Les signaux périodiques pratiques sont des signaux de puissance. Les signaux non périodiques sont des signaux d'énergie.
Ici, la puissance moyenne normalisée est finie et non nulle. Ici, l'énergie normalisée totale est finie et non nulle.

Mathématiquement,

$$ P = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} 1 / T \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} x ^ {2} (t) dt $$

Mathématiquement,

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x ^ {2} (t) dt $$
L'existence de ces signaux est infinie dans le temps. Ces signaux existent pour une période de temps limitée.
L'énergie du signal de puissance est infinie sur un temps infini. La puissance du signal d'énergie est nulle sur un temps infini.

Exemples résolus

Example 1 - Trouver la puissance d'un signal $ z (t) = 2 \ cos (3 \ Pi t + 30 ^ {o}) + 4 \ sin (3 \ Pi + 30 ^ {o}) $

Solution- Les deux signaux ci-dessus sont orthogonaux l'un par rapport à l'autre car leurs termes de fréquence sont identiques l'un à l'autre également ils ont la même différence de phase. Ainsi, la puissance totale sera la somme des pouvoirs individuels.

Soit $ z (t) = x (t) + y (t) $

Où $ x (t) = 2 \ cos (3 \ Pi t + 30 ^ {o}) $ et $ y (t) = 4 \ sin (3 \ Pi + 30 ^ {o}) $

Puissance de $ x (t) = \ frac {2 ^ {2}} {2} = 2 $

Puissance de $ y (t) = \ frac {4 ^ {2}} {2} = 8 $

Par conséquent, $ P (z) = p (x) + p (y) = 2 + 8 = 10 $ … Ans.

Example 2 - Teste si le signal donné $ x (t) = t ^ {2} + j \ sin t $ est conjugué ou non?

Solution- Ici, la partie réelle étant t 2 est paire et la partie impaire (imaginaire) étant $ \ sin t $ est impaire. Ainsi, le signal ci-dessus est un signal conjugué.

Example 3 - Vérifiez si $ X (t) = \ sin \ omega t $ est un signal impair ou un signal pair.

Solution - Étant donné $ X (t) = \ sin \ omega t $

Par inversion de temps, nous obtiendrons $ \ sin (- \ omega t) $

Mais nous savons que $ \ sin (- \ phi) = - \ sin \ phi $.

Par conséquent,

$$ \ sin (- \ omega t) = - \ sin \ omega t $$

Cela satisfait la condition pour qu'un signal soit impair. Par conséquent, $ \ sin \ omega t $ est un signal impair.