DSP - Inverse de transformation en Z
Si nous voulons analyser un système, qui est déjà représenté dans le domaine fréquentiel, comme signal temporel discret, nous optons pour une transformation Z inversée.
Mathématiquement, il peut être représenté par;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$où x (n) est le signal dans le domaine temporel et X (Z) est le signal dans le domaine fréquentiel.
Si nous voulons représenter l'équation ci-dessus en format intégral, nous pouvons l'écrire comme
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Ici, l'intégrale est sur un chemin fermé C. Ce chemin est dans le ROC du x (z) et il contient l'origine.
Méthodes pour trouver la transformation en Z inversée
Lorsque l'analyse est nécessaire dans un format discret, nous convertissons le signal du domaine fréquentiel en un format discret par transformation en Z inverse. Nous suivons les quatre méthodes suivantes pour déterminer la transformation en Z inverse.
- Méthode de division longue
- Méthode d'expansion partielle des fractions
- Méthode intégrale des résidus ou des contours
Méthode de division longue
Dans cette méthode, la transformée Z du signal x (z) peut être représentée comme le rapport du polynôme comme indiqué ci-dessous;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Maintenant, si nous continuons à diviser le numérateur par le dénominateur, nous obtiendrons une série comme indiqué ci-dessous
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$La séquence ci-dessus représente la série de transformées en Z inverse du signal donné (pour n ≥ 0) et le système ci-dessus est causal.
Cependant pour n <0, la série peut être écrite comme;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Méthode d'expansion partielle des fractions
Ici aussi, le signal est d'abord exprimé sous la forme N (z) / D (z).
S'il s'agit d'une fraction rationnelle, elle sera représentée comme suit;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Celui ci-dessus est incorrect lorsque m <n et an ≠ 0
Si le rapport n'est pas correct (c'est-à-dire incorrect), nous devons le convertir dans la forme appropriée pour le résoudre.
Méthode intégrale des résidus ou des contours
Dans cette méthode, nous obtenons la transformée Z inverse x (n) en additionnant les résidus de $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ à tous les pôles. Mathématiquement, cela peut être exprimé par
$$ x (n) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {all \ quad poles \ quad X (z)} résidus \ quad of [x (z) Z ^ {n-1}] $$Ici, le résidu pour tout pôle d'ordre m à $ z = \ beta $ est
$$ Résidus = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$