Traitement numérique du signal - Introduction DFT

Comme la transformée de Fourier du signal en temps continu, la transformée de Fourier en temps discret peut être utilisée pour représenter une séquence discrète dans sa représentation de domaine de fréquence équivalente et son système de temps discret LTI et pour développer divers algorithmes de calcul.

X (jω) en FT continu, est une fonction continue de x (n). Cependant, DFT s'occupe de représenter x (n) avec des échantillons de son spectre X (ω). Par conséquent, cet outil mathématique revêt une grande importance sur le plan informatique dans la représentation pratique. Les séquences périodiques et non périodiques peuvent être traitées via cet outil. Les séquences périodiques doivent être échantillonnées en étendant la période à l'infini.

Échantillonnage dans le domaine fréquentiel

Dès l'introduction, il est clair que nous devons savoir comment procéder par échantillonnage dans le domaine fréquentiel c'est-à-dire échantillonnage X (ω). Par conséquent, la relation entre la transformée de Fourier échantillonnée et la DFT est établie de la manière suivante.

De même, des séquences périodiques peuvent s'adapter à cet outil en étendant la période N à l'infini.

Soit une suite non périodique, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Définition de sa transformée de Fourier,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Ici, X (ω) est échantillonné périodiquement, à chaque intervalle de δω radian.

Comme X (ω) est périodique en 2π radians, nous n'avons besoin d'échantillons que dans la gamme fondamentale. Les échantillons sont prélevés après des intervalles équidistants dans la gamme de fréquences 0≤ω≤2π. L'espacement entre les intervalles équivalents est $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

En cours d'évaluation, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

où k = 0,1, …… N-1

Après avoir subdivisé ce qui précède et changé l'ordre de sommation

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limits_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = une fonction \ quad périodique \ quad \ quad de \ quad period \ quad N \ quad et \ quad son \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

où, n = 0,1,… .., N-1; 'p' - signifie entité ou fonction périodique

Les coefficients de Fourier sont,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... éq (4)

En comparant les équations 3 et 4, nous obtenons;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

De l'expansion de la série Fourier,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Où n = 0,1,…, N-1

Ici, nous avons obtenu le signal périodique de X (ω). $ x (n) $ peut être extrait de $ x_p (n) $ uniquement, s'il n'y a pas d'alias dans le domaine temporel. $ N \ geq L $

N = période de $ x_p (n) $ L = période de $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Sinon \ end {cases} $

La cartographie est réalisée de cette manière.

Propriétés de DFT

Linéarité

Il déclare que la DFT d'une combinaison de signaux est égale à la somme des DFT des signaux individuels. Prenons deux signaux x ₁ (n) et x ₂ (n), dont les DFT sont respectivement X ₁ (ω) et X ₂ (ω). Donc si

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ et $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Alors $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

où a et b sont des constantes.

Symétrie

Les propriétés de symétrie de DFT peuvent être dérivées de la même manière que nous avons dérivé les propriétés de symétrie DTFT. On sait que la DFT de séquence x (n) est notée X (K). Maintenant, si x (n) et X (K) sont des séquences de valeurs complexes, alors elles peuvent être représentées sous

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

Et $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Propriété de la dualité

Considérons un signal x (n), dont la DFT est donnée par X (K). Soit la séquence de durée finie X (N). Alors selon le théorème de dualité,

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Alors, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Donc, en utilisant ce théorème si nous connaissons DFT, nous pouvons facilement trouver la séquence de durée finie.

Propriétés conjuguées complexes

Supposons qu'il y ait un signal x (n), dont la DFT nous est également connue sous le nom de X (K). Maintenant, si le conjugué complexe du signal est donné comme x * (n), alors nous pouvons facilement trouver la DFT sans faire beaucoup de calcul en utilisant le théorème ci-dessous.

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Alors, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Décalage de fréquence circulaire

La multiplication de la séquence x (n) par la séquence exponentielle complexe $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ équivaut au décalage circulaire de la DFT par L unités en fréquence. Il s'agit du double de la propriété de décalage temporel circulaire.

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Alors, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Multiplication de deux séquences

S'il y a deux signaux x ₁ (n) et x ₂ (n) et que leurs DFT respectifs sont X ₁ (k) et X ₂ (K), alors la multiplication des signaux en séquence temporelle correspond à la convolution circulaire de leurs DFT.

Si, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Alors, $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) © X_2 (K) $

Théorème de Parseval

Pour les suites complexes x (n) et y (n), en général

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Alors, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $