DSP - Transformation en cosinus discrète DFT

DCT (Discrete Cosine Transform) est une séquence à N entrées x (n), 0≤n≤N-1, sous forme de transformation linéaire ou de combinaison d'exponentielles complexes. De ce fait, les coefficients DFT sont en général complexes même si x (n) est réel.

Supposons que nous essayons de trouver une transformation orthogonale qui a une structure N × N qui exprime une séquence réelle x (n) comme une combinaison linéaire de séquence cosinus. Nous savons déjà que -

$ X (K) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Et $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Ceci est possible si la séquence de N points x (n) est réelle et paire. Ainsi, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. Le DFT qui en résulte est réel et uniforme. Ces choses montrent clairement que nous pourrions éventuellement réaliser une transformée en cosinus discrète, pour toute séquence réelle à N points, en prenant le 2N point DFT d'une «extension paire» de séquence.

DCT est, fondamentalement, utilisé dans le traitement d'image et de parole. Il est également utilisé pour la compression d'images et de signaux vocaux.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT est défini par,

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad ou \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad où \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $