DSP - Existence de Z-Transform

Un système, qui a une fonction système, ne peut être stable que si tous les pôles se trouvent à l'intérieur du cercle unitaire. Tout d'abord, nous vérifions si le système est causal ou non. Si le système est Causal, alors nous allons pour sa détermination de stabilité BIBO; où la stabilité BIBO fait référence à l'entrée bornée pour la condition de sortie bornée.

Cela peut être écrit comme;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ somme x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ somme Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ somme Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ somme Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

L'équation ci-dessus montre la condition d'existence de la transformée en Z.

Cependant, la condition d'existence du signal DTFT est

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Exemple 1

Essayons de trouver la transformée en Z du signal, qui est donnée par

$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Ici, pour $ - (- 2) ^ nu (n) $ le ROC est à gauche et Z <2

Pour $ 3 ^ nu (n) $ ROC est du côté droit et Z> 3

Par conséquent, ici la transformée Z du signal n'existera pas car il n'y a pas de région commune.

Exemple 2

Essayons de trouver la transformée en Z du signal donné par

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $

Solution - Ici, pour $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC du signal est à gauche et Z <2

Pour le signal $ (0,5) ^ nu (n) $ ROC est du côté droit et Z> 0,5

Ainsi, le ROC commun étant formé comme 0,5 <Z <2

Par conséquent, la transformée en Z peut être écrite comme;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Exemple 3

Essayons de trouver la transformée en Z du signal, qui est donnée par $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) est le signal de rampe. Ainsi, le signal peut être écrit comme;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad et \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Ici, pour le signal $ u (-n-1) $ et ROC Z <1 et pour $ 2 ^ nu (n) $ avec ROC est Z> 2.

Ainsi, la transformation en Z du signal n'existera pas.

Z -Transform pour le système causal

Le système causal peut être défini comme $ h (n) = 0, n <0 $. Pour le système causal, ROC sera à l'extérieur du cercle dans le plan Z.

$ H (Z) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

Élargir l'équation ci-dessus,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

Pour les systèmes causaux, l'expansion de la fonction de transfert n'inclut pas les puissances positives de Z. Pour le système causal, l'ordre du numérateur ne peut pas dépasser l'ordre du dénominateur. Cela peut être écrit comme-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad ou \ quad Fini $

Pour la stabilité du système causal, les pôles de la fonction de transfert doivent être à l'intérieur du cercle unitaire dans le plan Z.

Transformée en Z pour le système anti-causal

Le système anti-causal peut être défini comme $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Pour le système anti-causal, les pôles de la fonction de transfert doivent se trouver à l'extérieur du cercle unitaire dans le plan Z. Pour le système anti-causal, ROC sera à l'intérieur du cercle dans le plan Z.