DSP - Filtrage linéaire DFT

DFT offre une approche alternative à la convolution dans le domaine temporel. Il peut être utilisé pour effectuer un filtrage linéaire dans le domaine fréquentiel.

Ainsi, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

Le problème dans cette approche du domaine fréquentiel est que $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ et $ H (\ omega) $ sont des fonctions continues de ω, ce qui n'est pas fructueux pour le calcul numérique sur les ordinateurs. Cependant, DFT fournit une version échantillonnée de ces formes d'onde pour résoudre le problème.

L'avantage est que, ayant une connaissance des techniques DFT plus rapides comme la FFT, un algorithme plus efficace du point de vue du calcul peut être développé pour le calcul informatique numérique par rapport à l'approche du domaine temporel.

Considérons une séquence de durée finie, $ [x (n) = 0, \ quad pour, n <0 \ quad et \ quad n \ geq L] $ (équation généralisée), excite un filtre linéaire avec réponse impulsionnelle $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad et \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

D'après l'analyse de convolution, il est clair que la durée de y (n) est L + M − 1.

Dans le domaine fréquentiel,

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Maintenant, $ Y (\ omega) $ est une fonction continue de ω et il est échantillonné à un ensemble de fréquences discrètes avec un nombre d'échantillons distincts qui doit être égal ou supérieur à $ L + M-1 $.

$$ DFT \ quad size = N \ geq L + M-1 $$

Avec $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, où k = 0,1,…., N-1

Où, X (k) et H (k) sont des DFT à N points de x (n) et h (n) respectivement. $ x (n) \ & h (n) $ sont complétés par des zéros jusqu'à la longueur N. Cela ne déformera pas les spectres continus $ X (\ omega) $ et $ H (\ omega) $. Puisque $ N \ geq L + M-1 $, la DFT à N points de la séquence de sortie y (n) est suffisante pour représenter y (n) dans le domaine fréquentiel et ces faits en déduisent que la multiplication des DFT à N points de X (k ) et H (k), suivi du calcul de l'IDFT à N points, doit donner y (n).

Cela implique une convolution circulaire à N points de x (n) et H (n) avec un remplissage nul, égale à la convolution linéaire de x (n) et h (n).

Ainsi, DFT peut être utilisé pour le filtrage linéaire.

Caution- N doit toujours être supérieur ou égal à $ L + M-1 $. Sinon, l'effet d'alias endommagerait la séquence de sortie.