DSP - Propriétés Z-Transform

Dans ce chapitre, nous allons comprendre les propriétés de base des transformations en Z.

Linéarité

Il déclare que lorsque deux signaux discrets individuels ou plus sont multipliés par des constantes, leurs transformées en Z respectives seront également multipliées par les mêmes constantes.

Mathématiquement,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - On le sait,

$$ X (Z) = \ somme_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ somme_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (donc prouvé)

Ici, le ROC est $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Changement de temps

La propriété de décalage temporel décrit comment le changement dans le domaine temporel dans le signal discret affectera le domaine Z, qui peut être écrit comme;

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

Ou $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

Soit $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ somme_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ somme_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Soit s = pk

$ = \ somme_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ somme_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (donc prouvé)

Ici, ROC peut être écrit comme Z = 0 (p> 0) ou Z = ∞ (p <0)

Exemple

U (n) et U (n-1) peuvent être tracés comme suit

Transformation en Z de U (n) cab s'écrire;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

La transformation Z de U (n-1) peut s'écrire;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Donc ici $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (donc prouvé)

Mise à l'échelle du temps

La propriété Time Scaling nous indique quel sera le domaine Z du signal lorsque le temps est mis à l'échelle sous sa forme discrète, qui peut être écrite comme;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

Soit $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ somme_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ somme_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ somme_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (donc prouvé)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) où Mod = Module

Exemple

Déterminons la transformation en Z de $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ en utilisant la propriété de mise à l'échelle du temps.

Solution -

On sait déjà que la transformation en Z du signal $ \ cos (\ omega n) $ est donnée par -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$

Maintenant, en appliquant la propriété de mise à l'échelle du temps, la transformation Z de $ a ^ n \ cos \ omega n $ peut être écrite comme;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Différenciation successive

La propriété de différenciation successive montre que la transformée en Z aura lieu lorsque nous différencions le signal discret dans le domaine temporel, par rapport au temps. Ceci est montré comme ci-dessous.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof -

Considérons la LHS de l'équation - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (donc prouvé)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

Exemple

Trouvons la transformée en Z d'un signal donné par $ x (n) = n ^ 2u (n) $

Par propriété on peut écrire

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (soit) $

Maintenant, Z [ny] peut être découvert en appliquant à nouveau la propriété,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Convolution

Cela représente le changement dans le domaine Z du système lorsqu'une convolution a lieu sous la forme de signal discret, qui peut s'écrire -

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ somme_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 ​​(nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $

Soit nk = l, alors l'équation ci-dessus cab s'écrit -

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(l) Z ^ {- l }] $

$ = \ somme_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ somme_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (donc prouvé)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Exemple

Trouvons la convolution donnée par deux signaux

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (éq.1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad et \ quad 0 \ quad ailleurs \ rbrace $ ... (éq.2)

La transformation en Z de la première équation peut s'écrire;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

La transformation en Z du deuxième signal peut être écrite comme;

$ \ somme_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Ainsi, la convolution des deux signaux ci-dessus est donnée par -

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ fois [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

En prenant la transformation en Z inverse que nous obtenons,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Théorème de la valeur initiale

Si x (n) est une séquence causale, qui a sa transformation Z comme X (z), alors le théorème de valeur initiale peut être écrit comme;

$ X (n) (at \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) $

Proof - On le sait,

$ X (Z) = \ somme_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

En élargissant la série ci-dessus, nous obtenons;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ fois 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

Dans le cas ci-dessus si Z → ∞ alors $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (Parce que n> 0)

Par conséquent, nous pouvons dire;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (donc prouvé)

Théorème de la valeur finale

Le théorème de la valeur finale stipule que si la transformée en Z d'un signal est représentée par X (Z) et que les pôles sont tous à l'intérieur du cercle, alors sa valeur finale est notée x (n) ou X (∞) et peut être écrite comme -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

  • Il n'est applicable que pour les systèmes causaux.
  • $ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ devrait avoir des pôles à l'intérieur du cercle unitaire dans le plan Z.

Proof - Nous savons que

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Ici, nous pouvons appliquer la propriété avancée de la transformation en Z unilatérale. Ainsi, l'équation ci-dessus peut être réécrite comme;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

En mettant maintenant z = 1 dans l'équation ci-dessus, nous pouvons développer l'équation ci-dessus -

$ \ lim_ {k \ à \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Cela peut être formulé comme;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (donc prouvé)

Exemple

Trouvons la valeur initiale et finale de x (n) dont le signal est donné par

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Trouvons d'abord la valeur initiale du signal en appliquant le théorème

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Trouvons maintenant la valeur finale du signal en appliquant le théorème

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

Différenciation en fréquence

Il donne le changement de domaine Z du signal, lorsque son signal discret est différencié par rapport au temps.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

Son ROC peut être écrit comme;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Exemple

Trouvons la valeur de x (n) par Différenciation en fréquence, dont le signal discret dans le domaine Z est donné par $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $

Par propriété, on peut écrire que

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Flèche droite x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $

Multiplication dans le temps

Il donne le changement du domaine Z du signal lorsque la multiplication a lieu au niveau du signal discret.

$ x_1 (n) .x_2 (n) \ longleftrightarrow (\ frac {1} {2 \ Pi j}) [X1 (Z) * X2 (Z)] $

Conjugaison dans le temps

Cela représente la représentation du signal discret conjugué dans le domaine Z.

$ X ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * (Z ^ *) $