Systèmes de contrôle - Algèbre de schéma fonctionnel

L'algèbre du diagramme n'est rien d'autre que l'algèbre impliquée dans les éléments de base du diagramme. Cette algèbre traite de la représentation picturale des équations algébriques.

Connexions de base pour les blocs

Il existe trois types de base de connexions entre deux blocs.

Connexion en série

La connexion en série est également appelée cascade connection. Dans la figure suivante, deux blocs ayant des fonctions de transfert $ G_1 (s) $ et $ G_2 (s) $ sont connectés en série.

Pour cette combinaison, nous obtiendrons la sortie $ Y (s) $ comme

$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$

Où, $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $

$$ \ Flèche droite Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$

$$ \ Flèche droite Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$

Comparez cette équation avec la forme standard de l'équation de sortie, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Où, $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.

Cela signifie que nous pouvons représenter le series connectionde deux blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est laproduct of the transfer functionsde ces deux blocs. Le schéma fonctionnel équivalent est illustré ci-dessous.

De même, vous pouvez représenter une connexion en série de «n» blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est le produit des fonctions de transfert de tous ces «n» blocs.

Connexion parallèle

Les blocs qui sont connectés dans parallel aura le same input. Dans la figure suivante, deux blocs ayant des fonctions de transfert $ G_1 (s) $ et $ G_2 (s) $ sont connectés en parallèle. Les sorties de ces deux blocs sont connectées au point de sommation.

Pour cette combinaison, nous obtiendrons la sortie $ Y (s) $ comme

$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$

Où, $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ et $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $

$$ \ Rightarrow Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$

Comparez cette équation avec la forme standard de l'équation de sortie, $ Y (s) = G (s) X (s) $.

Où, $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.

Cela signifie que nous pouvons représenter le parallel connectionde deux blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est lasum of the transfer functionsde ces deux blocs. Le schéma fonctionnel équivalent est illustré ci-dessous.

De même, vous pouvez représenter une connexion parallèle de «n» blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est la somme algébrique des fonctions de transfert de tous ces «n» blocs.

Connexion de rétroaction

Comme nous l'avons vu dans les chapitres précédents, il existe deux types de feedback- rétroaction positive et rétroaction négative. La figure suivante montre le système de contrôle de rétroaction négative. Ici, deux blocs ayant les fonctions de transfert $ G (s) $ et $ H (s) $ forment une boucle fermée.

La sortie du point de sommation est -

$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$

La sortie $ Y (s) $ est -

$$ Y (s) = E (s) G (s) $$

Remplacez la valeur $ E (s) $ dans l'équation ci-dessus.

$$ Y (s) = \ gauche \ {X (s) -H (s) Y (s) \ raccolade G (s) \ droite \} $$

$$ Y (s) \ gauche \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ droite \} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$

Par conséquent, la fonction de transfert en boucle fermée à rétroaction négative est $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $

Cela signifie que nous pouvons représenter la connexion de rétroaction négative de deux blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est la fonction de transfert en boucle fermée de la rétroaction négative. Le schéma fonctionnel équivalent est illustré ci-dessous.

De même, vous pouvez représenter la connexion de rétroaction positive de deux blocs avec un seul bloc. La fonction de transfert de ce bloc unique est la fonction de transfert en boucle fermée de la rétroaction positive, c'est-à-dire $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $

Algèbre de diagramme de blocs pour la somme des points

Il existe deux possibilités de décaler les points de sommation par rapport aux blocs -

  • Décalage du point de sommation après le bloc
  • Décalage du point de sommation avant le bloc

Voyons maintenant quel type d'arrangements doit être fait dans les deux cas ci-dessus un par un.

Décalage du point de sommation après le bloc

Considérez le schéma fonctionnel présenté dans la figure suivante. Ici, le point de sommation est présent avant le bloc.

Le point de sommation a deux entrées $ R (s) $ et $ X (s) $. La sortie de celui-ci est $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $.

Ainsi, l'entrée du bloc $ G (s) $ est $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $ et sa sortie est -

$$ Y (s) = G (s) \ gauche \ {R (s) + X (s) \ droite \} $$

$ \ Flèche droite Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)

Maintenant, décalez le point de sommation après le bloc. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.

La sortie du bloc $ G (s) $ est $ G (s) R (s) $.

La sortie du point de sommation est

$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)

Comparez l'équation 1 et l'équation 2.

Le premier terme $ 'G (s) R (s)' $ est le même dans les deux équations. Mais, il y a une différence dans le deuxième mandat. Afin d'obtenir le deuxième terme également, nous avons besoin d'un bloc supplémentaire $ G (s) $. Il a l'entrée $ X (s) $ et la sortie de ce bloc est donnée comme entrée au point de sommation au lieu de $ X (s) $. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.

Décalage du point de sommation avant le bloc

Considérez le schéma fonctionnel présenté dans la figure suivante. Ici, le point de sommation est présent après le bloc.

La sortie de ce schéma fonctionnel est -

$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)

Maintenant, déplacez le point de sommation avant le bloc. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.

La sortie de ce schéma fonctionnel est -

$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)

Comparez l'équation 3 et l'équation 4,

Le premier terme $ 'G (s) R (s)' $ est le même dans les deux équations. Mais, il y a une différence dans le deuxième mandat. Afin d'obtenir le deuxième terme également, nous avons besoin d'un bloc supplémentaire $ \ frac {1} {G (s)} $. Il a l'entrée $ X (s) $ et la sortie de ce bloc est donnée comme entrée au point de sommation au lieu de $ X (s) $. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.

Algèbre de schéma fonctionnel pour les points de décollage

Il existe deux possibilités de décaler les points de décollage par rapport aux blocs -

  • Changement du point de décollage après le blocage
  • Décalage du point de décollage avant le blocage

Voyons maintenant quel genre d'arrangements il faut faire dans les deux cas ci-dessus, un par un.

Changement du point de décollage après le blocage

Considérez le schéma fonctionnel présenté dans la figure suivante. Dans ce cas, le point de décollage est présent avant le blocage.

Ici, $ X (s) = R (s) $ et $ Y (s) = G (s) R (s) $

Lorsque vous déplacez le point de décollage après le bloc, la sortie $ Y (s) $ sera la même. Mais, il y a une différence dans la valeur de $ X (s) $. Donc, pour obtenir la même valeur $ X (s) $, nous avons besoin d'un bloc supplémentaire $ \ frac {1} {G (s)} $. Il a l'entrée $ Y (s) $ et la sortie est $ X (s) $. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.

Changement du point de décollage avant le blocage

Considérez le schéma fonctionnel présenté dans la figure suivante. Ici, le point de décollage est présent après le blocage.

Ici, $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $

Lorsque vous déplacez le point de décollage avant le bloc, la sortie $ Y (s) $ sera la même. Mais, il y a une différence dans la valeur de $ X (s) $. Donc, pour obtenir la même valeur $ X (s) $, nous avons besoin d'un bloc supplémentaire $ G (s) $. Il a l'entrée $ R (s) $ et la sortie est $ X (s) $. Ce schéma de principe est illustré dans la figure suivante.