Systèmes de contrôle - Locus racine

Dans le diagramme de locus racine, nous pouvons observer le chemin des pôles en boucle fermée. Par conséquent, nous pouvons identifier la nature du système de contrôle. Dans cette technique, nous utiliserons une fonction de transfert en boucle ouverte pour connaître la stabilité du système de contrôle en boucle fermée.

Bases du locus racine

Le locus racine est le lieu des racines de l'équation caractéristique en faisant varier le gain système K de zéro à l'infini.

On sait que l'équation caractéristique du système de contrôle en boucle fermée est

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

On peut représenter $ G (s) H (s) $ comme

$$ G (s) H (s) = K \ frac {N (s)} {D (s)} $$

Où,

• K représente le facteur multiplicateur

• N (s) représente le terme numérateur ayant (factorisé) ^le polynôme d'ordre n de «s».

• D (s) représente le terme dénominateur ayant (factorisé) ^le polynôme d'ordre m de «s».

Remplacez, $ G (s) H (s) $ valeur dans l'équation caractéristique.

$$ 1 + k \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 $$

$$ \ Flèche droite D (s) + KN (s) = 0 $$

Case 1 − K = 0

Si $ K = 0 $, alors $ D (s) = 0 $.

Cela signifie que les pôles en boucle fermée sont égaux aux pôles en boucle ouverte lorsque K est égal à zéro.

Case 2 − K = ∞

Réécrivez l'équation caractéristique ci-dessus comme

$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( s)} {D (s)} = 0 $$

Remplacez, $ K = \ infty $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( s) = 0 $$

Si $ K = \ infty $, alors $ N (s) = 0 $. Cela signifie que les pôles de la boucle fermée sont égaux aux zéros de la boucle ouverte lorsque K est l'infini.

À partir de deux cas ci-dessus, nous pouvons conclure que les branches du locus racine commencent aux pôles en boucle ouverte et se terminent aux zéros en boucle ouverte.

Condition d'angle et condition d'amplitude

Les points sur les branches du locus racine satisfont la condition d'angle. Ainsi, la condition d'angle est utilisée pour savoir si le point existe ou non sur la branche du locus racine. Nous pouvons trouver la valeur de K pour les points sur les branches du locus racine en utilisant la condition de magnitude. Ainsi, nous pouvons utiliser la condition d'amplitude pour les points, et cela satisfait la condition d'angle.

L'équation caractéristique du système de contrôle en boucle fermée est

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

$$ \ Flèche droite G (s) H (s) = - 1 + j0 $$

le phase angle de $ G (s) H (s) $ est

$$ \ angle G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$

le angle conditionest le point auquel l'angle de la fonction de transfert en boucle ouverte est un multiple impair de 180 ⁰ .

L'ampleur de $ G (s) H (s) $ est -

$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$

La condition de grandeur est le point (qui satisfait la condition d'angle) auquel la grandeur de la fonction de transfert en boucle ouverte est un.