Réponse du système du premier ordre

Dans ce chapitre, parlons de la réponse temporelle du système du premier ordre. Considérez le schéma fonctionnel suivant du système de contrôle en boucle fermée. Ici, une fonction de transfert en boucle ouverte, $ \ frac {1} {sT} $ est reliée à une rétroaction négative unitaire.

Nous savons que la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée a une rétroaction négative unitaire comme,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Remplacez, $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$

La puissance de s est une dans le terme dénominateur. Par conséquent, la fonction de transfert ci-dessus est du premier ordre et le système est ditfirst order system.

Nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus comme

$$ C (s) = \ gauche (\ frac {1} {sT + 1} \ droite) R (s) $$

Où,

  • C(s) est la transformée de Laplace du signal de sortie c (t),

  • R(s) est la transformée de Laplace du signal d'entrée r (t), et

  • T est la constante de temps.

Suivez ces étapes pour obtenir la réponse (sortie) du système de premier ordre dans le domaine temporel.

  • Prenez la transformée de Laplace du signal d'entrée $ r (t) $.

  • Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

  • Remplacez la valeur $ R (s) $ dans l'équation ci-dessus.

  • Faites des fractions partielles de $ C (s) $ si nécessaire.

  • Appliquer la transformée de Laplace inverse à $ C (s) $.

Dans le chapitre précédent, nous avons vu les signaux de test standard tels que l'impulsion, le pas, la rampe et la parabolique. Découvrons maintenant les réponses du premier système d'ordre pour chaque entrée, une par une. Le nom de la réponse est donné en fonction du nom du signal d'entrée. Par exemple, la réponse du système pour une entrée impulsionnelle est appelée réponse impulsionnelle.

Réponse impulsionnelle du système de premier ordre

Prendre en compte unit impulse signal comme entrée du système de premier ordre.

Donc, $ r (t) = \ delta (t) $

Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés.

$ R (s) = 1 $

Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Remplacez, $ R (s) = 1 $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ gauche (\ frac {1} {sT + 1} \ droite) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$

Réorganisez l'équation ci-dessus dans l'une des formes standard de transformations de Laplace.

$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ gauche ({- \ frac {t} {T}} \ droite) u (t) $$

La réponse impulsionnelle de l'unité est illustrée dans la figure suivante.

le unit impulse response, c (t) est un signal décroissant exponentiel pour les valeurs positives de «t» et il est nul pour les valeurs négatives de «t».

Réponse d'étape du système de premier ordre

Prendre en compte unit step signal comme entrée du système de premier ordre.

Donc, $ r (t) = u (t) $

Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés.

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ gauche (\ frac {1} {sT + 1} \ droite) \ gauche (\ frac {1} {s} \ droite) = \ frac {1} {s \ gauche (sT + 1 \ droite)} $$

Faites des fractions partielles de C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$

Des deux côtés, le terme dénominateur est le même. Donc, ils seront annulés l'un par l'autre. Par conséquent, assimilez les termes du numérateur.

$$ 1 = A \ gauche (sT + 1 \ droite) + Bs $$

En assimilant les termes constants des deux côtés, vous obtiendrez A = 1.

Remplacez, A = 1 et assimilez le coefficient du s termes des deux côtés.

$$ 0 = T + B \ Flèche droite B = -T $$

Remplacez, A = 1 et B = −T dans le développement de fraction partielle de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ droite)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ gauche (1-e ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} \ droite) u (t) $$

le unit step response, c (t) a à la fois les termes transitoire et stationnaire.

Le terme transitoire dans la réponse de pas unitaire est -

$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} u (t) $$

Le terme en régime permanent dans la réponse en pas unitaire est -

$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$

La figure suivante montre la réponse de pas unitaire.

La valeur du unit step response, c(t)est nul à t = 0 et pour toutes les valeurs négatives de t. Il augmente progressivement à partir de la valeur zéro et atteint finalement un en régime permanent. Ainsi, la valeur de l'état stationnaire dépend de l'amplitude de l'entrée.

Réponse de rampe du système de premier ordre

Prendre en compte unit ramp signal comme entrée du système de premier ordre.

$ Donc, r (t) = tu (t) $

Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés.

$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$

Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Remplacez, $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$

Faites des fractions partielles de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$

Des deux côtés, le terme dénominateur est le même. Donc, ils seront annulés l'un par l'autre. Par conséquent, assimilez les termes du numérateur.

$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$

En assimilant les termes constants des deux côtés, vous obtiendrez A = 1.

Remplacez, A = 1 et assimilez le coefficient des termes s des deux côtés.

$$ 0 = T + B \ Flèche droite B = -T $$

De même, remplacez B = −T et assimilez le coefficient de $ s ^ 2 $ des deux côtés. Vous obtiendrez $ C = T ^ 2 $.

Remplacez A = 1, B = −T et $ C = T ^ 2 $ dans le développement de fraction partielle de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ gauche (t-T + Te ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} \ droite) u (t) $$

le unit ramp response, c (t) a à la fois les termes transitoire et stationnaire.

Le terme transitoire dans la réponse de la rampe de l'unité est -

$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} u (t) $$

Le terme en régime permanent dans la réponse de rampe de l'unité est -

$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$

La figure suivante montre la réponse de la rampe de l'unité.

le unit ramp response, c (t) suit le signal d'entrée de la rampe unitaire pour toutes les valeurs positives de t. Mais, il y a un écart de T unités par rapport au signal d'entrée.

Réponse parabolique du système du premier ordre

Prendre en compte unit parabolic signal comme entrée du système de premier ordre.

Donc, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $

Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés.

$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$

Considérons l'équation, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $

Remplacez $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ dans l'équation ci-dessus.

$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$

Faites des fractions partielles de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$

Après avoir simplifié, vous obtiendrez les valeurs de A, B, C et D comme 1, $ -T, \: T ^ 2 \: et \: −T ^ 3 $ respectivement. Remplacez ces valeurs dans l'expansion de fraction partielle ci-dessus de C (s).

$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $

Appliquez la transformée de Laplace inverse des deux côtés.

$$ c (t) = \ gauche (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} \ droite ) u (t) $$

le unit parabolic response, c (t) a à la fois les termes transitoire et stationnaire.

Le terme transitoire de la réponse parabolique unitaire est

$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ gauche (\ frac {t} {T} \ droite)} u (t) $$

Le terme à l'état d'équilibre dans la réponse parabolique unitaire est

$$ C_ {ss} (t) = \ gauche (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ droite) u (t) $$

A partir de ces réponses, nous pouvons conclure que les systèmes de contrôle du premier ordre ne sont pas stables avec la rampe et les entrées paraboliques car ces réponses continuent d'augmenter même à une durée infinie. Les systèmes de contrôle du premier ordre sont stables avec des entrées d'impulsion et de pas parce que ces réponses ont une sortie bornée. Mais la réponse impulsionnelle n'a pas de terme d'état stable. Ainsi, le signal de pas est largement utilisé dans le domaine temporel pour analyser les systèmes de contrôle à partir de leurs réponses.