Systèmes de contrôle - Analyse de l'espace d'état
Dans le chapitre précédent, nous avons appris comment obtenir le modèle d'espace d'états à partir d'une équation différentielle et d'une fonction de transfert. Dans ce chapitre, discutons de la façon d'obtenir une fonction de transfert à partir du modèle d'espace d'états.
Fonction de transfert à partir du modèle d'espace d'état
Nous savons que le modèle d'espace d'état d'un système LTI (Linear Time-Invariant) est -
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés de l'équation d'état.
$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$
$$ \ Flèche droite (sI-A) X (s) = BU (s) $$
$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$
Appliquez la transformation de Laplace des deux côtés de l'équation de sortie.
$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$
Remplacez la valeur X (s) dans l'équation ci-dessus.
$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$
$$ \ Flèche droite Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$
L'équation ci-dessus représente la fonction de transfert du système. Ainsi, nous pouvons calculer la fonction de transfert du système en utilisant cette formule pour le système représenté dans le modèle d'espace d'états.
Note - Lorsque $ D = [0] $, la fonction de transfert sera
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Example
Calculons la fonction de transfert du système représenté dans le modèle d'espace d'états comme,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Ici,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad et \ quad D = [0] $$
La formule de la fonction de transfert lorsque $ D = [0] $ est -
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Remplacez les matrices A, B et C dans l'équation ci-dessus.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Par conséquent, la fonction de transfert du système pour le modèle d'espace d'états donné est
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Matrice de transition d'état et ses propriétés
Si le système a des conditions initiales, il produira une sortie. Puisque, cette sortie est présente même en l'absence d'entrée, elle est appeléezero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Mathématiquement, nous pouvons l'écrire comme,
$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$
À partir de la relation ci-dessus, nous pouvons écrire la matrice de transition d'état $ \ phi (t) $ comme
$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$
Ainsi, la réponse d'entrée nulle peut être obtenue en multipliant la matrice de transition d'état $ \ phi (t) $ avec la matrice des conditions initiales.
Voici les propriétés de la matrice de transition d'état.
Si $ t = 0 $, alors la matrice de transition d'état sera égale à une matrice d'identité.
$$ \ phi (0) = I $$
L'inverse de la matrice de transition d'état sera le même que celui de la matrice de transition d'état simplement en remplaçant «t» par «-t».
$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Si $ t = t_1 + t_2 $, alors la matrice de transition d'état correspondante est égale à la multiplication des deux matrices de transition d'état à $ t = t_1 $ et $ t = t_2 $.
$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$
Contrôlabilité et observabilité
Parlons maintenant de la contrôlabilité et de l'observabilité du système de contrôle un par un.
Contrôlabilité
On dit qu'un système de contrôle est controllable si les états initiaux du système de commande sont transférés (modifiés) vers certains autres états souhaités par une entrée commandée en durée finie.
Nous pouvons vérifier la contrôlabilité d'un système de contrôle en utilisant Kalman’s test.
Écrivez la matrice $ Q_c $ sous la forme suivante.
$$ Q_c = \ gauche [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ droite] $$
Trouvez le déterminant de la matrice $ Q_c $ et s'il n'est pas égal à zéro, alors le système de contrôle est contrôlable.
Observabilité
On dit qu'un système de contrôle est observable s'il est capable de déterminer les états initiaux du système de commande en observant les sorties en durée finie.
Nous pouvons vérifier l'observabilité d'un système de contrôle en utilisant Kalman’s test.
Écrivez la matrice $ Q_o $ sous la forme suivante.
$$ Q_o = \ gauche [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ droite] $$
Trouvez le déterminant de la matrice $ Q_o $ et s'il n'est pas égal à zéro, alors le système de contrôle est observable.
Example
Vérifions la contrôlabilité et l'observabilité d'un système de contrôle qui est représenté dans le modèle d'espace d'états comme,
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Ici,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad et \ quad n = 2 $$
Pour $ n = 2 $, la matrice $ Q_c $ sera
$$ Q_c = \ gauche [B \ quad AB \ droite] $$
Nous obtiendrons le produit des matrices A et B comme,
$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
Puisque le déterminant de la matrice $ Q_c $ n'est pas égal à zéro, le système de contrôle donné est contrôlable.
Pour $ n = 2 $, la matrice $ Q_o $ sera -
$$ Q_o = \ gauche [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ droite] $$
Ici,
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad et \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $
Nous obtiendrons le produit des matrices $ A ^ T $ et $ C ^ T $ comme
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Flèche droite | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
Puisque, le déterminant de la matrice $ Q_o $ n'est pas égal à zéro, le système de contrôle donné est observable.
Par conséquent, le système de contrôle donné est à la fois contrôlable et observable.