Systèmes de contrôle - Erreurs d'état stable

La déviation de la sortie du système de commande par rapport à la réponse souhaitée en régime permanent est appelée steady state error. Il est représenté par $ e_ {ss} $. Nous pouvons trouver une erreur en régime permanent en utilisant le théorème de la valeur finale comme suit.

$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$

Où,

E (s) est la transformée de Laplace du signal d'erreur, $ e (t) $

Voyons comment trouver les erreurs en régime permanent pour les systèmes de contrôle de rétroaction unitaire et de rétroaction non unitaire un par un.

Erreurs d'état stable pour les systèmes de rétroaction Unity

Considérez le schéma de principe suivant du système de contrôle en boucle fermée, qui a une rétroaction négative unitaire.

Où,

  • R (s) est la transformée de Laplace du signal d'entrée de référence $ r (t) $
  • C (s) est la transformée de Laplace du signal de sortie $ c (t) $

Nous connaissons la fonction de transfert du système de contrôle en boucle fermée à rétroaction négative unitaire comme

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

La sortie du point de sommation est -

$$ E (s) = R (s) -C (s) $$

Remplacez la valeur $ C (s) $ dans l'équation ci-dessus.

$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$

$$ \ Rightarrow E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$

Remplacez la valeur $ E (s) $ dans la formule d'erreur en régime permanent

$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$

Le tableau suivant montre les erreurs en régime permanent et les constantes d'erreur pour les signaux d'entrée standard tels que le pas d'unité, la rampe d'unité et les signaux paraboliques d'unité.

Signal d'entrée Erreur d'état stable $ e_ {ss} $ Constante d'erreur

signal de pas d'unité

$ \ frac {1} {1 + k_p} $

$ K_p = \ lim_ {s \ à 0} G (s) $

signal de rampe de l'unité

$ \ frac {1} {K_v} $

$ K_v = \ lim_ {s \ à 0} sG (s) $

signal parabolique unitaire

$ \ frac {1} {K_a} $

$ K_a = \ lim_ {s \ à 0} s ^ 2G (s) $

Où, $ K_p $, $ K_v $ et $ K_a $ sont respectivement la constante d'erreur de position, la constante d'erreur de vitesse et la constante d'erreur d'accélération.

Note - Si l'un des signaux d'entrée ci-dessus a une amplitude autre que l'unité, multipliez l'erreur d'état stationnaire correspondante par cette amplitude.

Note- Nous ne pouvons pas définir l'erreur en régime permanent pour le signal d'impulsion de l'unité car elle n'existe qu'à l'origine. Donc, nous ne pouvons pas comparer la réponse impulsionnelle avec l'entrée impulsionnelle de l'unité commet désigne l'infini.

Exemple

Trouvons l'erreur en régime permanent pour un signal d'entrée $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ d'un système de contrôle à rétroaction négative avec $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $

Le signal d'entrée donné est une combinaison de trois signaux step, rampe et parabolic. Le tableau suivant montre les constantes d'erreur et les valeurs d'erreur en régime permanent pour ces trois signaux.

Signal d'entrée Constante d'erreur Erreur d'état stable

$ r_1 (t) = 5u (t) $

$ K_p = \ lim_ {s \ à 0} G (s) = \ infty $

$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $

$ r_2 (t) = 2tu (t) $

$ K_v = \ lim_ {s \ à 0} sG (s) = \ infty $

$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $

$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $

$ K_a = \ lim_ {s \ à 0} s ^ 2G (s) = 1 $

$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $

Nous obtiendrons l'erreur globale en régime permanent, en ajoutant les trois erreurs en régime permanent ci-dessus.

$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$

$$ \ Rightarrow e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$

Par conséquent, nous avons obtenu l'erreur d'état stable $ e_ {ss} $ comme 1 pour cet exemple.

Erreurs d'état stable pour les systèmes de rétroaction non Unity

Considérez le schéma de principe suivant du système de contrôle en boucle fermée, qui a une rétroaction négative de non-unité.

Nous ne pouvons trouver les erreurs en régime permanent que pour les systèmes de rétroaction unitaire. Donc, nous devons convertir le système de rétroaction non-unité en système de rétroaction unitaire. Pour cela, incluez un chemin de rétroaction positive unitaire et un chemin de rétroaction négative unitaire dans le diagramme ci-dessus. Le nouveau diagramme ressemble à celui ci-dessous.

Simplifiez le diagramme ci-dessus en conservant la rétroaction négative unitaire telle quelle. Ce qui suit est le schéma fonctionnel simplifié.

Ce schéma de principe ressemble au schéma de principe du système de commande en boucle fermée à rétroaction négative unitaire. Ici, le bloc unique a la fonction de transfert $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ au lieu de $ G (s) $. Vous pouvez maintenant calculer les erreurs en régime permanent en utilisant la formule d'erreur en régime permanent donnée pour les systèmes de rétroaction négative unitaire.

Note- Il est inutile de trouver les erreurs d'état stable pour les systèmes instables en boucle fermée. Nous devons donc calculer les erreurs en régime permanent uniquement pour les systèmes stables en boucle fermée. Cela signifie que nous devons vérifier si le système de contrôle est stable ou non avant de trouver les erreurs en régime permanent. Dans le chapitre suivant, nous discuterons de la stabilité liée aux concepts.