Systèmes de contrôle - Bode Plots
Le tracé de Bode ou le diagramme de Bode se compose de deux tracés -
- Graphique de magnitude
- Diagramme de phase
Dans les deux graphiques, l'axe des x représente la fréquence angulaire (échelle logarithmique). Tandis que l'axe y représente la magnitude (échelle linéaire) de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le graphique d'amplitude et l'angle de phase (échelle linéaire) de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le graphique de phase.
le magnitude de la fonction de transfert en boucle ouverte en dB est -
$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$
le phase angle de la fonction de transfert en boucle ouverte en degrés est -
$$ \ phi = \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$
Note - La base du logarithme est 10.
Bases des graphiques de Bode
Le tableau suivant montre la pente, la magnitude et les valeurs d'angle de phase des termes présents dans la fonction de transfert en boucle ouverte. Ces données sont utiles lors du dessin des tracés de Bode.
| Type de terme | G (jω) H (jω) | Pente (dB / déc) | Magnitude (dB) | Angle de phase (degrés) |
|---|---|---|---|---|
Constant |
K $ |
0 $ |
20 $ \ log K $ |
0 $ |
Zéro à l'origine |
$ j \ omega $ |
20 $ |
20 $ \ log \ omega $ |
90 $ |
'n' zéros à l'origine |
$ (j \ omega) ^ n $ |
20 $ \: n $ |
20 $ \: n \ log \ omega $ |
90 $ \: n $ |
Pôle à l'origine |
$ \ frac {1} {j \ omega} $ |
-20 $ |
-20 $ \ log \ omega $ |
$ -90 \: ou \: 270 $ |
'n' pôles à l'origine |
$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $ |
-20 $ \: n $ |
$ -20 \: n \ log \ omega $ |
$ -90 \: n \: ou \: 270 \: n $ |
Zéro simple |
1 $ + j \ omega r $ |
20 $ |
$ 0 \: pour \: \ omega <\ frac {1} {r} $ 20 $ \: \ log \ omega r \: pour \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: pour \: \ omega <\ frac {1} {r} $ 90 $ \: pour \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Poteau simple |
$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $ |
-20 $ |
$ 0 \: pour \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -20 \: \ log \ omega r \: pour \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: pour \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -90 \: ou \: 270 \: pour \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Terme dérivé du second ordre |
$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $ |
40 $ |
$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: pour \: \ omega <\ omega_n $ $ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: pour \: \ omega = \ omega_n $ 40 $ \: \ log \: \ omega \: pour \: \ omega> \ omega_n $ |
$ 0 \: pour \: \ omega <\ omega_n $ 90 $ \: pour \: \ omega = \ omega_n $ 180 $ \: pour \: \ omega> \ omega_n $ |
Terme intégral du second ordre |
$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $ |
-40 $ |
$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: pour \: \ omega <\ omega_n $ $ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: pour \: \ omega = \ omega_n $ $ -40 \: \ log \: \ omega \: pour \: \ omega> \ omega_n $ |
$ -0 \: pour \: \ omega <\ omega_n $ $ -90 \: pour \: \ omega = \ omega_n $ $ -180 \: pour \: \ omega> \ omega_n $ |
Considérons la fonction de transfert en boucle ouverte $ G (s) H (s) = K $.
Magnitude $ M = 20 \: \ log K $ dB
Angle de phase $ \ phi = 0 $ degrés
Si $ K = 1 $, alors la magnitude est de 0 dB.
Si $ K> 1 $, alors la magnitude sera positive.
Si $ K <1 $, alors la magnitude sera négative.
La figure suivante montre le tracé de Bode correspondant.
Le tracé de magnitude est une ligne horizontale, indépendante de la fréquence. La ligne 0 dB elle-même est le tracé de magnitude lorsque la valeur de K est un. Pour les valeurs positives de K, la ligne horizontale décale 20 $ \: \ log K $ dB au-dessus de la ligne 0 dB. Pour les valeurs négatives de K, la ligne horizontale décalera $ 20 \: \ log K $ dB en dessous de la ligne 0 dB. La ligne de zéro degré elle-même est le graphique de phase pour toutes les valeurs positives de K.
Considérons la fonction de transfert en boucle ouverte $ G (s) H (s) = s $.
Magnitude $ M = 20 \ log \ omega $ dB
Angle de phase $ \ phi = 90 ^ 0 $
À $ \ omega = 0,1 $ rad / s, la magnitude est de -20 dB.
À $ \ omega = 1 $ rad / s, la magnitude est de 0 dB.
À $ \ omega = 10 $ rad / s, la magnitude est de 20 dB.
La figure suivante montre le tracé de Bode correspondant.
Le graphique de magnitude est une ligne qui a une pente de 20 dB / déc. Cette ligne a commencé à $ \ omega = 0,1 $ rad / s d'une magnitude de -20 dB et elle continue sur la même pente. Il touche la ligne 0 dB à $ \ omega = 1 $ rad / sec. Dans ce cas, le tracé de phase est de 90 0 ligne.
Considérons la fonction de transfert en boucle ouverte $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.
Magnitude $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB
Angle de phase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ degrés
Pour $ ω <\ frac {1} {\ tau} $, la magnitude est de 0 dB et l'angle de phase est de 0 degré.
Pour $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $, la magnitude est de 20 $ \: \ log \ omega \ tau $ dB et l'angle de phase est de 90 0 .
La figure suivante montre le tracé de Bode correspondant.
Le tracé de magnitude a une magnitude de 0 dB jusqu'à $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec. À partir de $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec, il a une pente de 20 dB / déc. Dans ce cas, le diagramme de phase a un angle de phase de 0 degré jusqu'à $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec et à partir de là, il a un angle de phase de 90 0 . Ce tracé de Bode est appelé leasymptotic Bode plot.
Comme la magnitude et les tracés de phase sont représentés par des lignes droites, les tracés de Bode Exact ressemblent aux tracés de Bode asymptotiques. La seule différence est que les tracés Exact Bode auront des courbes simples au lieu de lignes droites.
De même, vous pouvez dessiner les graphiques de Bode pour d'autres termes de la fonction de transfert en boucle ouverte qui sont donnés dans le tableau.