Systèmes de contrôle - Analyse de stabilité

Dans ce chapitre, discutons de l'analyse de stabilité dans le ‘s’domaine utilisant le critère de stabilité de RouthHurwitz. Dans ce critère, nous avons besoin de l'équation caractéristique pour trouver la stabilité des systèmes de contrôle en boucle fermée.

Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

Le critère de stabilité de Routh-Hurwitz est d'avoir une condition nécessaire et une condition suffisante pour la stabilité. Si un système de contrôle ne satisfait pas à la condition nécessaire, alors nous pouvons dire que le système de contrôle est instable. Mais, si le système de commande satisfait à la condition nécessaire, il peut être stable ou non. Ainsi, la condition suffisante est utile pour savoir si le système de contrôle est stable ou non.

Condition nécessaire à la stabilité Routh-Hurwitz

La condition nécessaire est que les coefficients du polynôme caractéristique soient positifs. Cela implique que toutes les racines de l'équation caractéristique doivent avoir des parties réelles négatives.

Considérons l'équation caractéristique de l'ordre 'n' est -

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

Notez qu'il ne devrait pas y avoir de terme manquant dans le n^thordre équation caractéristique. Cela signifie que len^th L'équation de caractéristique d'ordre ne doit avoir aucun coefficient de valeur nulle.

Condition suffisante pour la stabilité Routh-Hurwitz

La condition suffisante est que tous les éléments de la première colonne du tableau Routh doivent avoir le même signe. Cela signifie que tous les éléments de la première colonne du tableau Routh doivent être positifs ou négatifs.

Méthode Routh Array

Si toutes les racines de l'équation caractéristique existent dans la moitié gauche du plan «s», alors le système de contrôle est stable. Si au moins une racine de l'équation caractéristique existe dans la moitié droite du plan «s», alors le système de contrôle est instable. Il faut donc trouver les racines de l'équation caractéristique pour savoir si le système de contrôle est stable ou instable. Mais, il est difficile de trouver les racines de l'équation caractéristique à mesure que l'ordre augmente.

Donc, pour surmonter ce problème, nous avons le Routh array method. Dans cette méthode, il n'est pas nécessaire de calculer les racines de l'équation caractéristique. Formulez d'abord la table Routh et recherchez le nombre de changements de signe dans la première colonne de la table Routh. Le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh donne le nombre de racines de l'équation caractéristique qui existent dans la moitié droite du plan «s» et le système de contrôle est instable.

Suivez cette procédure pour former la table Routh.

• Remplissez les deux premières lignes du tableau Routh avec les coefficients du polynôme caractéristique comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Commencez par le coefficient de $ s ^ n $ et continuez jusqu'au coefficient de $ s ^ 0 $.

• Remplissez les lignes restantes du tableau Routh avec les éléments comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Continuez ce processus jusqu'à ce que vous obteniez le premier élément de colonne derow $s^0$est $ a_n $. Ici, $ a_n $ est le coefficient de $ s ^ 0 $ dans le polynôme caractéristique.

Note - Si des éléments de ligne de la table Routh ont un facteur commun, vous pouvez diviser les éléments de ligne avec ce facteur pour que la simplification soit facile.

Le tableau suivant montre le tableau de Routh du n ^ième ordre polynomial caractéristique.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 ​​$	$ a_6 $	...	...
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	...	...
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	...	...	...
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

Trouvons la stabilité du système de contrôle ayant l'équation caractéristique,

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Vérifier les conditions nécessaires à la stabilité du Routh-Hurwitz.

Tous les coefficients du polynôme caractéristique, $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ sont positifs. Ainsi, le système de contrôle remplit la condition nécessaire.

Step 2 - Former le tableau de Routh pour le polynôme caractéristique donné.

$ s ^ 4 $	1 $	3 $	1 $
$ s ^ 3 $	3 $	2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(3 \ fois 3) - (2 \ fois 1)} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {(3 \ fois 1) - (0 \ fois 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	1 $

Step 3 - Vérifier les conditions suffisantes pour la stabilité Routh-Hurwitz.

Tous les éléments de la première colonne du tableau Routh sont positifs. Il n'y a pas de changement de signe dans la première colonne du tableau Routh. Ainsi, le système de contrôle est stable.

Cas particuliers de Routh Array

On peut rencontrer deux types de situations, en formant la table de Routh. Il est difficile de compléter le tableau de Routh à partir de ces deux situations.

Les deux cas particuliers sont -

• Le premier élément de toute ligne du tableau Routh est zéro.
• Tous les éléments de n'importe quelle ligne du tableau Routh sont nuls.

Voyons maintenant comment surmonter la difficulté dans ces deux cas, un par un.

Le premier élément de n'importe quelle ligne du tableau Routh est zéro

Si une ligne du tableau Routh ne contient que le premier élément comme zéro et qu'au moins un des éléments restants a une valeur différente de zéro, remplacez le premier élément par un petit entier positif, $ \ epsilon $. Et puis continuez le processus pour compléter la table Routh. Maintenant, trouvez le nombre de changements de signe dans la première colonne de la table Routh en remplaçant $ \ epsilon $ tend vers zéro.

Example

Trouvons la stabilité du système de contrôle ayant l'équation caractéristique,

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Vérifier les conditions nécessaires à la stabilité du Routh-Hurwitz.

Tous les coefficients du polynôme caractéristique, $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ sont positifs. Ainsi, le système de contrôle remplissait la condition nécessaire.

Step 2 - Former le tableau de Routh pour le polynôme caractéristique donné.

$ s ^ 4 $	1 $	1 $	1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(1 \ fois 1) - (1 \ fois 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ fois 1) - (0 \ fois 1)} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Les éléments de la ligne $ s ^ 3 $ ont 2 comme facteur commun. Donc, tous ces éléments sont divisés par 2.

Special case (i)- Seul le premier élément de la ligne $ s ^ 2 $ vaut zéro. Alors, remplacez-le par $ \ epsilon $ et continuez le processus de remplissage de la table Routh.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ epsilon $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Vérifier les conditions suffisantes pour la stabilité Routh-Hurwitz.

Comme $ \ epsilon $ tend vers zéro, la table Routh devient ainsi.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Il y a deux changements de signe dans la première colonne du tableau Routh. Par conséquent, le système de contrôle est instable.

Tous les éléments de n'importe quelle ligne du tableau Routh sont nuls

Dans ce cas, suivez ces deux étapes -

• Écrivez l'équation auxiliaire, A (s) de la ligne, qui est juste au-dessus de la ligne de zéros.

• Différencier l'équation auxiliaire, A (s) par rapport à s. Remplissez la rangée de zéros avec ces coefficients.

Example

Trouvons la stabilité du système de contrôle ayant l'équation caractéristique,

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 - Vérifier les conditions nécessaires à la stabilité du Routh-Hurwitz.

Tous les coefficients du polynôme caractéristique donné sont positifs. Ainsi, le système de contrôle remplissait la condition nécessaire.

Step 2 - Former le tableau de Routh pour le polynôme caractéristique donné.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {(1 \ fois 1) - (1 \ fois 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ fois 1) - (1 \ fois 1)} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Les éléments de la ligne $ s ^ 4 $ ont le facteur commun de 3. Donc, tous ces éléments sont divisés par 3.

Special case (ii)- Tous les éléments de la ligne $ s ^ 3 $ sont nuls. Alors, écrivez l'équation auxiliaire, A (s) de la ligne $ s ^ 4 $.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

Différenciez l'équation ci-dessus par rapport à l'art.

$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

Placez ces coefficients dans la ligne $ s ^ 3 $.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(2 \ fois 1) - (1 \ fois 1)} {2} = 0,5 $	$ \ frac {(2 \ fois 1) - (0 \ fois 1)} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {(0,5 \ fois 1) - (1 \ fois 2)} {0,5} = \ frac {-1,5} {0,5} = - 3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Vérifier les conditions suffisantes pour la stabilité Routh-Hurwitz.

Il y a deux changements de signe dans la première colonne du tableau Routh. Par conséquent, le système de contrôle est instable.

Dans le critère de stabilité de Routh-Hurwitz, nous pouvons savoir si les pôles en boucle fermée sont dans la moitié gauche du plan «s» ou sur la moitié droite du plan «s» ou sur un axe imaginaire. Donc, nous ne pouvons pas trouver la nature du système de contrôle. Pour surmonter cette limitation, il existe une technique connue sous le nom de locus racine. Nous discuterons de cette technique dans les deux prochains chapitres.